Problema del blat i l'escaquer

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

El problema del blat i l'escaquer, conegut amb molt diversos noms, entre d'altres, La llegenda de Sissa, o la Faula del rei de Shirham, és un problema matemàtic, que serveix per fer palès com de ràpidament creixen les seqüències exponencials. El problema és de vegades plantejat amb grans d'arròs en lloc de grans de blat.

El plantejament del qual és el següent: si en un escaquer hi haguessim de posar grans de blat, de manera que hi hagués un gra de blat a la primera casella, dos a la segona, quatre a la tercera, vuit a la quarta, i així indefinidament fins que s'acabin les caselles, anant doblant el nombre de grans a cadascuna, quans grans de blat hi hauria a l'escaquer en acabar?

Per solucionar el problema, cal saber que un escaquer té 8×8 caselles, i per tant, un total de seixanta-quatre. Si el nombre de grans es dobla en cada casella successiva, llavors la suma dels grans de les 64 caselles seria:

T_{64} = 1 + 2 + 4 + \cdots + 2^{63} = \sum_{i=0}^{63} 2^i = 2^{64} - 1 \,

Aquesta operació dóna com a resultat 18.446.744.073.709.551.615.

Origen del problema[modifica | modifica el codi]

Tot i que la manera de narrar el context de la història canvia segons el temps i el lloc, la idea base de la llegenda de rerefons és sempre la mateixa:

Quan el creador del joc dels escacs (en algunes històries un matemàtic de l'antiga Índia, en d'altres un llegendari dravida vellalar anomenat Sessa o Sissa) mostrà la seva invenció al rei local, aquest va quedar-ne molt content, i li va demanar que posés preu al seu invent. L'home, que era molt savi, va demanar al rei: que per a la primera casella del tauler d'escacs, ell rebria un gra de blat (en algunes narracions, arròs), dos per la segona, quatre en el tercer, i així successivament, duplicant la quantitat cada vegada. El governant, inconscient del que significava allò aritmèticament, ràpidament va acceptar l'oferta de l'inventor, fins i tot li va semblar que l'inventor estava demanant un preu massa baix, i va ordenar el tresorer fer el càlcul i lliurar el blat a l'inventor. No obstant això, quan el tresorer va prendre més d'una setmana per calcular la quantitat de blat, el governant li va demanar una raó de la seva tardança. El tresorer llavors li va donar el resultat del càlcul, i va explicar que seria impossible donar la recompensa a l'inventor. El governant llavors, per venjar-se de l'inventor que havia tractat d'enganyar-lo amb una astúcia, va dir l'inventor que, perquè ell pogués rebre la seva recompensa, hauria de comptar cada gra que se li donava, per tal d'assegurar-se que la recompensa era la justa.

Variacions[modifica | modifica el codi]

La història que relata el problema té una altra versió, situada a l'antiga Roma. Quan un valent general va tornar a Roma, el Cæsar, qui el volia premiar, li va demanar que ell mateix posés preu als seus serveis al país. El general va demanar llavors una quantitat de diners exhorbitant, i el Cèsar, que no volia semblar avar, ni tampoc que semblés que es feia enrere de la seva paraula, li va fer una contraoferta: l'endemà, el general podria anar a la tresoreria, i prendre una moneda d'un gram d'or, l'endemà, una moneda de dos grams d'or, etcètera, de manera que cada dia el pes de la moneda seria doble, i el general podria endur-se-la, sempre que fos capaç de portar-lo per si mateix. El general, veient una bona oportunitat per guanyar diners ràpidament, hi va estar d'acord. No obstant això, en acabar el 18è dia, el general no va ser capaç de carretejar cap moneda més, i així, va acabar rebent només una petita fracció del que havia demanat al Cèsar. Iàkov Perelman explica la història en un dels seus llibres amb monedes de bronze en lloc de monedes d'or, començant amb cinc grams, i el general se les arregla per prendre 17 monedes, tot i que les dues darreres les ha de portar rodant, de tant que pesen.

Una altra versió parla de dos comerciants. Un comerciant ofereix un acord a l'altre, tal que el proper mes, el comerciant ha de donar 10.000 $ (o, en algunes variants, fins a 100.000 $) a l'altre, i a canvi, rebrà un centau el primer dia, 2 centaus el segon, 4 centaus en el tercer, i així successivament, cada vegada duplicant la quantitat. El segon comerciant hi està d'acord, i durant les tres primeres setmanes (o més, depenent de la variant), sembla gaudir de la sort que el primer comerciant va ser "sense voler" donar-li, però al final del mes, el segon comerciant fa fallida, mentre que el primer comerciant esdevé riquíssim.

Encara una altra variant parla sobre un home que vol comprar un cavall, però el troba molt car. El propietari li ofereix pagar un preu "millor": un cèntim pel primer clau de les seves ferradures, dos pel segon clau, i així successivament. Considerant que hi ha sis claus a cada ferradura, els resultats són similars a la història anterior.

Alguns llibres sobre matemàtiques populars també esmenten aquest problema: Doblegueu un Post-it de paper per la meitat. Doblegueu altre cop el paper doblegat, i repetiu la tasca 7 vegades. A continuació, proveu d'estripar el paper. Això serà molt difícil de fer, i segurament en primera instància pensareu que és perquè el tros de paper resultant és massa petit per manipular-lo. Però en realitat, serà molt difícil d'esquinçar el paper, fins i tot si comenceu amb un diari de mida gran, i això és perquè hi ha 128 fulls apilats.

La segona meitat de l'escaquer[modifica | modifica el codi]

Il·lustració del principi.

En estratègia tecnològica, la segona meitat de l'escaquer és una frase creada per en Ray Kurzweil[1], en referència al punt en què l'increment exponencial comença a tenir un impacte econòmic significatiu en l'estratègia econòmica d'un negoci.

Mentre que el nombre de grans en la primera meitat de l'escaquer és gran, la quantitat de la segona meitat de l'escaquer és enormement més gran.

El nombre de grans d'arròs de la primera meitat de l'escaquer és 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 + 1024 + ... + 2,147,483,648, per un total de 232 − 1 = 4,294,967,295 grans d'arròs, o bé uns 100.000 kg d'arròs; com que la massa d'un grà d'arròs és de 25 mg, [2] aquesta quantitat és al voltant d'1/1.200.000th del total de la producció d'arròs de la India per any (el 2005) [3].

El nombre de grans d'arròs a la segona meitat del tauler és 232 + 233 + 234 ... + 263, per un total de 264 − 232 grans d'arròs. Cal notar que la primera casella de la segona meitat conté més grans d'arròs que tota la primera meitat del tauler sencera. Només a la casella 64ena, hi hauria 263 = 9.223.372.036.854.775.808 grans d'arròs, és a dir, més de dos mil milions de vegades més que en la primera meitat del tauler.

En total, en el tauler, hi hauria 264 − 1 = 18.446.744.073.709.551.615 grans d'arròs, que pesarien 461.168.602.000 tones mètriques, cosa que faria una pila d'arròs més gran que l'Everest.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Bibliografia[modifica | modifica el codi]

  1. ^ Raymond Kurzweil. The Age of Spiritual Machines. Viking Adult, 1999. ISBN 0-670-88217-8. 

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]