Problema dels dos cossos

Dos cossos orbitant al voltant del seu centre de masses en òrbites el·líptiques.

Dos cossos amb una petita diferència de massa orbitant al voltant del seu centre de massa, les mides dibuixats són similars als del sistema Plutó - Caront.

En mecànica, el problema dels dos-cossos consisteix en determinar el moviment de dues partícules puntuals que només interactuen entre si. Els exemples comuns inclouen la Lluna orbitant al voltant de la Terra i en absència del Sol, és a dir aïllats, un planeta orbitant al voltant d'una estrella, dos estrelles que giren al voltant del centre de masses (estel binari), i un electró orbitant al voltant d'un nucli atòmic.

Les Lleis de Newton ens permet reduir el problema de dos-cossos a un problema d'un-cos equivalent, és a dir, a resoldre el moviment d'una partícula sotmesa a un camp gravitatori conservatiu i que per tant deriva d'un potencial extern. Atès que el problema pot resoldre exactament, el problema del dos-cossos corresponent també es pot resoldre amb exactitud. Per contra, el problema dels tres cossos (i, més generalment, el problema de $n$ cossos amb $n \geq 3$) no pot resoldre's, excepte en casos especials.

Descripció del problema

Siguin $\mathbf{x}_{1}$ i $\mathbf{x}_{2}$ les posicions de dos cossos, i $m_{1}$ i $m_{2}$ les seves masses.

La segona llei de Newton determina que

$\mathbf{F}_{12}(\mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2}) = m_{1}\ddot \mathbf{x}_{1}$

$\mathbf{F}_{21}(\mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2}) = m_{2}\ddot \mathbf{x}_{2}$

on $\mathbf{F}_{12}$ és la força en la massa 1 causa de la seva interacció amb la massa 2, i $\mathbf{F}_{21}$ és la força en massa 2 respecte a la massa 1.

La nostra missió és determinar les trajectòries $\mathbf{x}_{1}(t)$ i $\mathbf{x}_{2}(t)$ en tot moment $t$, donades les posicions inicials $\mathbf{x}_{1}(t = 0)$ i $\mathbf{x}_{2}(t = 0)$ i les velocitats inicials $\mathbf{v}_{1}(t = 0)$ i $\mathbf{v}_{2}(t = 0)$ (12 constants en total). Un truc important per resoldre el problema de dos-cossos és sumar i restar aquestes dues equacions que descompon el problema en dos problemes. La suma produeix una equació que descriu el moviment del centre de masses, i la resta dóna una equació que descriu com varia amb el temps el vector de posició entre les dues masses. Quan combino les solucions a aquests dos problemes d'un-cos obtinc les solucions de les trajectòries $\mathbf{x}_{1}(t)$ i $\mathbf{x}_{2}(t)$.

Moviment del centre de masses (Primer problema d'un-cos)

La suma de les dues equacions

$m_{1}\ddot \mathbf{x}_{1}+m_{2}\ddot \mathbf{x}_{2}= (m_{1}+m_{2}) \ddot \mathbf{x}_{cm}= \mathbf{F}_{12}+\mathbf{F}_{21}= 0$

on hem usat Tercera Llei de Newton $\mathbf{F}_{12}= - \mathbf{F}_{21}$ i on

$\mathbf{x}_{cm}\equiv \frac{m_{1}\mathbf{x}_{1}+m_{2}\mathbf{x}_{2}}{m_{1}+m_{2}}$

és la posició del centre de masses (baricentre) del sistema. L'equació resultant

$\ddot \mathbf{x}_{cm}= 0$

mostra que la velocitat $\dot \mathbf{x}_{cm}$ del centre de massa és constant, del que es dedueix que la quantitat de moviment total $m_{1}\dot \mathbf{x}_{1}+m_{2}\dot \mathbf{x}_{2}$ també és constant (conservació de la quantitat de moviment ). De manera que, poden determinar la posició i velocitat del centre de massa en qualsevol instant donades les posicions i velocitats inicials.

Moviment del vector de desplaçament (Segon problema d'un-cos)

Restant les dues equacions de força i reestructurant l'equació

$\ddot \mathbf{x}_{1}- \ddot \mathbf{x}_{2}= \left (\frac{\mathbf{F}_{12}}{m_{1}}- \frac{\mathbf{F}_{21}}{m_{2}}\right) = \left (\frac{1}{m_{1}}+\frac{1}{m_{2}}\right) \mathbf{F}_{12}$

on hem usat de nou la Tercera llei de Newton $\mathbf{F}_{12}= - \mathbf{F}_{21}$.

Nosaltres introduïm un nou vector $\mathbf{r}$

$\mathbf{r}\equiv \mathbf{x}_{1}- \mathbf{x}_{2}$

això és el vector de posició de la massa 1 respecte de la massa 2. La força entre els dos objectes només és una funció d'aquest vector de posició $\mathbf{r}$ i no de les seves posicions absolutes $\mathbf{x}_{1}$ i $\mathbf{x}_{2}$, per altra banda, el problema no tindria simetria de translació, és a dir, les lleis de la física canviarien d'un lloc a un altre. Per tant, l'equació es pot escriure

$\Mu \ddot \mathbf{r}= \mathbf{F}(\vec{r})$

on $\mu$ és l ' massa reduïda

$\Mu = \frac{1}{\frac{1}{m_{1}}+\frac{1}{m_{2}}}= \frac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}$

Un cop hem resolt les equacions $\mathbf{x}_{cm}(t)$ i $\mathbf{r}(t)$, les trajectòries originals poden obtenir de les equacions

$\mathbf{x}_{1}(t) = \mathbf{x}_{cm}(t)+\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\mathbf{r}(t)$

$\mathbf{x}_{2}(t) = \mathbf{x}_{cm}(t) - \frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\mathbf{r}(t)$

com es pot verificar per substitució en les equacions de definició de $\mathbf{x}_{cm}(t)$ i $\mathbf{r}(t)$.

El moviment de dos-cossos és pla

El moviment de dos cossos sempre està en un pla. Definim la quantitat de moviment $\mathbf{p}= \mu \dot \mathbf{r}$ i el moment angular

$\mathbf{L}= \mathbf{r}\times \mathbf{p}$

La variació amb el temps del moment angular o cinètic és igual al moment de força $\mathbf{N}$

$\frac{d \mathbf{L}}{dt}= \dot \mathbf{r}\times \mu \dot \mathbf{r}+\mathbf{r}\times \mu \ddot \mathbf{r}= \mathbf{r}\times \mathbf{F}= \mathbf{N}$

Com que la força entre les dues partícules està en la línia que les uneix i per tant és paral·lela al radi vector $\mathbf{F}\propto \mathbf{r}$, l'producte vectorial entre el vector de posició i la força és nul $\mathbf{r}\times \mathbf{F}= 0$. Així que el moment és nul i el moment angular o cinètics constant. Si el vector moment angular $\mathbf{L}$ és constant, llavors, el vector de posició $\mathbf{r}$ i la seva velocitat $\dot \mathbf{r}$ estan sempre en el mateix pla, normal a $\mathbf{L}$.

Llei de les àrees

És útil sovint canviar a les coordenades polars, des que el moviment està en un pla i, per a molts problemes físics, la força $\mathbf{F}(\vec{r})$ només és una funció del radi $r$ (és una força central).

En moure's durant un instant de temps el vector de posició $\vec{r}$ descriu una àrea elemental $d \mathcal{A}$ que val: $d \mathcal{A}= \frac{r^{2}d \theta}{2}$, així que la velocitat areolar o àrea escombrada pel vector de posició en la unitat de temps és: $\frac{d \mathcal{A}}{dt}= \frac{r^{2}\dot{\theta}}{2}$.

L'mòdul del moment angular $L = \mu r^{2}\omega$ on $\omega \equiv \dot \theta$ . Així que es pot expressar la velocitat areolar en funció del moment angular $\frac{d \mathcal{A}}{dt}= \frac{L}{2 m}= \frac{C}{2}= cte$ amb $C = L/m \,$ "constant de les àrees".

Aquesta llei de les àrees va ser enunciada empíricament per primera vegada el 1609 per Johannes Kepler i explica el moviment dels planetas al voltant del Sol constituint la segona llei de Kepler). Convé recalcar que aquest fet és una proprietat general del moviment de les forces centrals i és per tant més general que les forces de la gravitació inversament proporcionals al quadrat de la distància.

El moviment d'un planeta en el pla de la seva òrbita, es compon de dos moviments, un l'angle que gira el radi vector i l'altre el seu acostament o allunyament del primari, és a dir la variació del mòdul del radi vector amb el temps. La llei de les àrees determina que, un cos gira més ràpid quan és a prop i lent quan està lluny i ho fa quantitativament, com per poder establir l'angle de gir, encara que és difícil. Per obtenir l'angle de gir I amb el temps cal expressar està fórmula d'una altra manera:

$M = I - i \sin I \;$

Aquesta fórmula s'anomena Equació de Kepler , on M és l ' anomalia mitjana , i és l'excentricitat i E l'anomalia excèntrica.

Només queda saber com varia $r$ amb el temps i eliminant t entre les dues euaciones obtenir l'òrbita, però això és el tema de la següent secció.

Òrbita

Newton va dir que "tot objecte en l'univers atrau a un altre objecte al llarg de la línia que uneix el centre dels objectes, (força central) proporcional a les masses de cada objecte, i inversament proporcional al quadrat de la distància entre ells. "

Per la segona llei de Newton l'acceleració a és de la forma

$\mathbf{a}= \frac{d^2 \mathbf{r}}{dt^2}= f (r) \hat{\mathbf{r}}.$

A coordenades polars la velocitat, assumint que l'òrbita està en el pla OXY val:

$\frac{d \mathbf{r}}{dt}= \dot r \hat{\mathbf{r}}+r \dot \theta \hat{\boldsymbol \theta},$

i l'acceleració:

$\frac{d^2 \mathbf{r}}{dt^2}= (\ddot r - r \dot \theta^2) \hat{\mathbf{r}}+(r \ddot \theta+2 \dot r \dot \theta) \hat{\boldsymbol \theta}.$

L'acceleració en components i atès que només té component radial:

$\ddot r - r \dot \theta^2 = f (r),$

$R \ddot \theta+2 \dot r \dot \theta = 0.$

Substituint $\ddot \theta$ i $\dot r$, la segona equació queda:

$R{d \dot \theta \over dt}+2{dr \over dt}\dot \theta = 0$

Separant variables:

$\frac{d \dot \theta}{\dot \theta}= -2 \frac{dr}{r}.$

La integració és:

$\ln \dot \theta = -2 \ln r+\ln \ell,$ on hem afegit la constant d'integració.

Sabem que moment angular específic (per unitat de massa) val:

$\ell = r^2 \dot \theta$,

Prenent logaritme s:

$\ln \ell = \ln r^2+\ln \dot \theta,$

Tres-cents anys d'experiència avalen el canvi de variable:

$R = \frac{1}{u},$

Derivant:

$\dot r = - \frac{1}{u^2}\dot u = - \frac{1}{u^2}\frac{d \theta}{dt}\frac{du}{d \theta}= - \ell \frac{du}{d \theta},$

Tornant a derivar i tenint present que $\dot \theta = o^2 \ell$

$\ddot r = - \ell \frac{d}{dt}\frac{du}{d \theta}= - \ell \dot \theta \frac{d^2u}{d \theta^2}= - \ell^2u^2 \frac{d^2u}{d \theta^2}.$

L'equació de moviment en $\hat{\mathbf{r}}$

$\ddot r - r \dot \theta^2 = f (r),$ queda:

$\frac{d^2u}{d \theta^2}+o = - \frac{1}{\ell^2u^2}f \left (\frac{1}{u}\right) .$

La llei de Newton de la gravitació indica que la força per unitat de massa és:

$F \left ({1 \over o}\right) = f (r) = - \,{GM \over r^2}= - GM o^2$

on G és la constant de gravitació universal i M és la massa de l'estrella.

Resulta,

$\frac{d^2u}{d \theta^2}+o = \frac{GM}{\ell^2}$

Aquesta equació diferencial té la solució general:

$U = \frac{GM}{\ell^2}\bigg [1+i \cos (\theta-\theta_0) \bigg].$

on i and θ ₀ són constants arbitràries d'integració.

Reemplaçant o per 1/ r i fent θ ₀ = 0:

$R ={1 \over o}= \frac{\ell^2/GM}{1+i \cos \theta}$

Aquesta és l'equació d'una cònica amb excentricitat i origen en un focus. Per tant, la primera llei de Keplers un resultat directe de la llei de la gravitació de Newton i de la segona llei de Newton del moviment.

θ rep el nom d'anomalia veritable normalment es representa per V és l'angle que forma el radi vector amb el periastre i es relaciona fàcilment amb l'anomalia excèntrica E.

• Si 0 <i <1 l'òrbita és una el·lipse
• Si i> 1 l'òrbita és una hipèrbola
• Si i = 1 l'òrbita és una paràbola

Vegeu també

• Teorema de virial