Problema dels punts

El problema dels punts és el primer desafiament de probabilitat que es coneix. La primera solució va ser donada al segle xiv.

La situació és la següent: Dos jugadors juguen a un joc en què per cada partida guanyada s'obté 1 punt. El primer que arriba a 6 punts s'emporta el premi (24 ducats). El joc s'interromp per causes desconegudes en un moment en què el jugador A té 5 punts i el jugador B, 3. Davant la impossibilitat de continuar i acabar la partida, el problema tracta de repartir el premi de manera justa.

Aquest problema ha tingut diverses solucions, concretament tres, però la més acceptada i considerada correcta, que utilitza els càlcul de probabilitats, és la proposada per Pascal i Fermat:

Diferents solucions

Solució proposada per Luca Pacioli

Luca Pacioli proposa repartir el premi 5 a 3.

Argument:

Proposa repartir el premi de manera proporcional als punts que ha guanyat cada jugador.

${\frac {24{\text{ ducats}}}{8{\text{ punts}}}}$ = 3 ducats / punt guanyat.

Pel jugador A, que ha guanyat 5 punts, 15 ducats. Pel jugador B, que ha guanyat 3 punts, 9 ducats.

Solució proposada per Niccolò Tartaglia

Niccolò Tartaglia proposa repartir el premi 2 a 1.

Argument:

Proposa repartir el premi de manera proporcional als punts d'avantatge que té el jugador A sobre el jugador B.

Proporció = 2:1

Per tant, si dividim el premi en terços, dos són pel jugador A i un, pel jugador B. 16 ducats per A i 8 per B.

Solució proposada per Blaise Pascal i Pierre de Fermat

Blaise Pascal i Pierre Fermat proposen repartir el premi 7 a 1.

Argument:

Pascal: El jugador A s'emportaria el premi si guanyés la partida següent (1/2), o si perdés la següent i guanyés l'altra (1/4) o si perdés les dues següents i guanyés l'altra (1/8). Probabilitat que guanyi A: ${\frac {1}{2}}$ + ${\frac {1}{4}}$ + ${\frac {1}{8}}$ = ${\frac {4}{8}}$ + ${\frac {2}{8}}$ + ${\frac {1}{8}}$ = ${\frac {7}{8}}$

Probabilitat que guanyi B: 1 - ${\frac {7}{8}}$ = ${\frac {8}{8}}$ - ${\frac {7}{8}}$ = ${\frac {1}{8}}$

Fermat: Com que el joc es pot allargar com a màxim tres partides més, es consideren tots els resultats de jugar les tres partides i es compten els casos favorables a cada jugador. A tan sols necessita guanyar una partida per guanyar el joc. En la taula es representa A per les partides guanyades pel jugador A i B, per les partides guanyades pel jugador B.

A B A A A B B B
A A B A B A B B
A A A B B B A B

D'acord amb la taula, el jugador A compta amb 7 de les 8 possibilitats mentre que B, 1 de les 8.

Per tant, la distribució dels ducats (recordem que és la considerada correcta) seria la següent: seguint una proporció 7:1, el jugador A s'enduria 21 ducats i el jugador B, 3 ducats.

Referències

• http://www.catedu.es/matematicas_mundo/HISTORIA/historia_Pascal.htm Arxivat 2009-03-21 a Wayback Machine.