Problema dels tres cossos

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Moviment caòtic de tres cossos en un camp de forces aïllat.

El problema dels tres cossos consisteix en determinar el moviment que seguiran tres cossos puntuals sotmesos només a la seva mútua interacció gravitatòria, essent conegudes les posicions i velocitats dels cossos en un moment inicial.

Tot i la simplicitat del plantejament, aquest problema és molt més complicat que el de determinar el moviment de dos cossos, que ja va ser resolt per Newton i que és descrit per les lleis de Kepler.

Introducció[modifica | modifica el codi]

El problema dels tres cossos consisteix en determinar les posicions i velocitats de tres cossos, de qualsevol massa, en qualsevol instant, sotmesos a la seva atracció gravitacional mútua i partint d'unes posicions i velocitats donades (els seus condicions inicials són 18 valors ).

Mentre que el problema dels dos cossossolució mitjançant el mètode de les quadratures integrals, el problema de tres cossos no té solució general per aquest mètode i en alguns casos la seva solució pot ser caòtica en el sentit físic del terme, que significa que petites variacions en les condicions inicials poden portar a destinacions totalment diferents.

En general, el problema dels tres cossos (i el problema dels n -cossos, per n > 3) no es pot resoldre pel mètode de les quadratures o integrals de moviment (o integrals primeres). Com va demostrar el matemàtic francès Henri Poincaré, no existeix una fórmula que el regeixi. És a dir, de les 18 integrals de moviment només 10 poden ser resoltes per les lleis de conservació. A més d'aquestes 10 integrals, no hi ha cap altra integral que sigui algebraicament independent. Això no implica, però, que no existeix una solució general del problema dels tres cossos, ja que es pot desenvolupar una solució com una sèrie. De fet Sundman proporcionar el 1909 una solució però mitjançant d'una sèrie convergent.

Aquest problema no sorgeix com un problema teòric, ja que el sistema Terra - Lluna - Sol és un cas molt proper del problema. Charles Delaunay va estudiar entre 1860 i 1867 aquest sistema i va publicar dos volums sobre el tema, cadascun de 900 pàgines. Entre molts altres èxits, en el seu treball apareix ja el caos, i aplica la teoria de la pertorbació, que consisteix en resoldre com un problema de dos cossos i considerar que el tercer pertorba la posició dels altres dos.

Es tracta d'un cas d'inestabilitat, anomenat el «problema teòric fonamental de l'estabilitat de l'equilibri», un fenomen que en termes actuals pot denominar moviment caòtic i que no va poder ser abordat fins 1949 quan el matemàtic uruguaià José Luis Massera el va caracteritzar en termes de les funcions de Lyapunov.

En 1776 el matemàtic francès Pierre Simon Laplace va començar a publicar 5 volums de Traité du Mécanique Céleste , en el qual afirmava categòric que, si es conegués la velocitat i la posició de totes les partícules de l'Univers en un instant, es podrien predir el seu passat i futur. Durant més de 100 anys la seva afirmació va semblar correcta i, per això, es va arribar a la conclusió que el lliure albir no existia, ja que tot estava determinat.

El determinisme laplacià consistia a afirmar que, si es coneixen les lleis que governen els fenòmens estudiats i es coneixen les condicions inicials i s'és capaç de calcular la solució, llavors es pot predir amb total certesa el futur del sistema estudiat.

A finals del segle XIX Henri Poincaré (1854-1912), matemàtic francès, va introduir un nou punt de vista en preguntar si el sistema solar seria estable per sempre. Poincaré va ser el primer a pensar en la possibilitat del caos, en el sentit d'un comportament que depengués sensiblement de les condicions inicials. El 1903 Poincaré postulava sobre l'aleatori i de l'atzar en els següents termes:

L'atzar no és més que la mesura de la ignorància de l'home, reconeixent, al mateix temps, l'existència d'innombrables fenòmens que no eren completament aleatoris, que simplement no responien a una dinàmica lineal, aquells als que petits canvis en les condicions inicials conduïen a enormes canvis en el resultat. Aquesta afirmació, a més, està directament relacionada amb la teoria de variables ocultes. D'aquesta manera es va començar la recerca de les lleis que governen els sistemes desconeguts, com ara el clima, la sang quan flueix a través del cor, les turbulències, les formacions geològiques, els embussos de vehicles, les epidèmies, la borsa o la forma en què les flors floreixen en un prat.

El problema dels tres cossos restringit o d'Euler[modifica | modifica el codi]

El «problema dels tres cossos restringit» assumeix que la massa d'un dels cossos és menyspreable, el problema dels tres cossos restringit circular és un cas especial en què s'assumeix que dos dels cossos estan en òrbites circulars (la qual cosa és aproximadament cert per al sistema Sol - Terra - Lluna). (Per a una discussió del cas on el cos menyspreable és un satèl·lit del cos de massa menor, vegeu l'article sobre la esfera de Hill; per als sistemes binaris, vegeu el lòbul de Roche; per solucions estables del sistema, vegeu punts de Lagrange).

El problema restringit (circular i el·líptic) va ser estudiat extensament per molts matemàtics i físics famosos, com Lagrange al segle XVIII i Henri Poincaré al final del segle XIX. En el problema circular, hi ha cinc punts d'equilibri anomenats punts de Lagrange. Tres d'aquests punts són alineats amb les masses principals i són inestables. Els altres dos es localitzen en el tercer vèrtex formant amb les dues masses principals triangles equilàters. Aquests punts són estables. En el sistema Sol - Júpiter els punts de lagrangians estan en la mateixa òrbita de Júpiter però 60 º per davant o per darrere i formen amb el Sol i Júpiter dos triangles equilàters. El que aquests punts estiguin ocupats pels asteroides troians constitueix una bella confirmació.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]

Referències[modifica | modifica el codi]

  • Diacu, F.: The solution of the n-body Problem , The Mathematical Intelligencer, 1996,18, p.66-70