Procés de Poisson

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En estadística i simulació un Procés de Poisson (també conegut com a "Llei dels successos rars" ) anomenat així pel matemàtic Siméon Denis Poisson (1781-1840) és un procés estocàstic de temps continu que consisteix a "explicar" esdeveniments rars (d'aquí el nom "llei dels esdeveniments rars") que ocorren al llarg del temps.

Definició[modifica | modifica el codi]

Un procés de Poisson amb intensitat (o taxa)  \lambda \geq 0 és un procés de comptar en temps continu  \lbrace N_t,\, t \ge0 \rbrace , on  N_t és una col·lecció de variables aleatòries amb les següents propietats:

1.  N (0) = 0 \, .

2. Si s\leq t llavors N_s\le N_t.

3. Per tot  n> 0 \, i  0 <t_1 <t_2 <... <t_n \, , les variables aleatòries  N_{t_1}, N_{t_2}- N_{t_1}, ..., N_{t_n}- N_{t_{n-1}}, són independents

4. Per a tota  h> 0 \, i  t \in \mathbb{R}\,^+, N_h \, i  N_{t + h}-N_t \, tenen la mateixa distribució (propietat d'homogeneïtat).

5.  P \lbrace N (h) = 1 \rbrace = \lambda h+o (h) \, .

6.  P \lbrace N (h) \ge 2 \rbrace = o (h) .

On o (h) és una funció tal que:


 \lim_{h \to 0,\, h > 0}{o (h) \over h}= 0

Propietats[modifica | modifica el codi]

A partir de la definició és possible demostrar que:

  • Les variables aleatòries  N_t tenen distribució de Poisson amb paràmetre  \lambda t
  • Si  T_k denota el temps transcorregut des del (k-1)-èsim esdeveniment fins al k-èsim, llavors  T_k és una variable aleatòria amb distribució exponencial i paràmetre  \lambda
  • Si  S_n denota el temps transcorregut des de l'inici del recompte fins al n-èsim esdeveniment, llavors  S_n té distribució Gamma amb paràmetres  (n, \lambda)

Aplicació en assegurances[modifica | modifica el codi]

Una important aplicació del procés de Poisson es troba en la probabilitat de ruïna d'una companyia asseguradora. El problema va ser tractat formalment per Filip Lundberg en la seva tesi doctoral l'any 1903. Posteriorment, Cramer desenvolupà les idees de Lundberg i donà lloc al que avui es coneix com el Procés de Ruïna o Model de Cramer-Lundberg.

Processos de Poisson no homogenis[modifica | modifica el codi]

Sovint són més realistes els models basats en processos de Poisson no homogenis, en els quals la taxa d'arribades és una funció del paràmetre de temps, λ (t). Formalment això vol dir que un procés de Poisson no homogeni és un procés de comptar que satisfà:

1.  N (0) = 0 \,

2. Els increments en intervals aliens són independents.

3.  P (N (t+h)-N (t) = 1) = \lambda (t) h+o (h) \,

4.  P (N (t+h)-N (t)> 1) = o (h) \,


Els tres mètodes més coneguts de generació d'un procés de Poisson no homogeni d'aquest tipus es basen en la modificació de l'escala de temps, en el condicionament i en una adaptació del mètode de rebuig.


Per processos homogenis hi ha una densitat mitjana  \lambda . Això vol dir que la mitjana dels successos en un interval de temps  t \, és  \lambda/t .

El temps entre dos successos d'un procés de Poisson amb intensitat mitjana  \lambda és una variable aleatòria de distribució exponencial amb paràmetre  \lambda .

Aplicacions[modifica | modifica el codi]

Es poden modelar molts fenòmens com un procés de Poisson. El nombre de successos en un interval de temps donat és una variable aleatòria de distribució de Poisson on  \lambda és la mitjana de nombres de successos en aquest interval. El temps fins que passa el succés nombre  k en un Procés de Poisson d'intensitat  \lambda és una variable aleatòria amb distribució gamma o (el mateix) amb distribució d'Erlang amb  \theta = 1/\lambda .

Altres aplicacions:

  • La quantitat de clients que entren a una botiga.
  • El nombre de cotxes que passen per una autopista.
  • L'arribada de persones a una fila d'espera.
  • El nombre de trucades que arriben a una central telefònica.
  • Partícules emeses per un material radioactiu.