Producte Kronecker

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

El producte Kronecker, denotat per ⊗ (\otimes) és una operació entre dues matrius d'una mida arbitrària que donen com a resultat una matriu en blocs. És un cas especial del producte tensorial. S'ha de distingir entre el producte Kronecker i la multiplicació de matrius. Són dues operacions completament diferents.

Definició[modifica | modifica el codi]

Si A és una matriu de dimensions m per n i B és un matriu de dimensions p per q, aleshores el producte Kronecker AB és la matriu de blocs de dimensions mp per nq:A \otimes B = (a)_{ij} \cdot B

Això es correspon amb la matriu:

 A \otimes B = \begin{pmatrix} a_{11} B & \cdots & a_{1n}B \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} B & \cdots & a_{mn} B \end{pmatrix}

O més explícitament,

A \otimes B = \begin{pmatrix}
 a_{11} b_{11} & a_{11} b_{12} & \cdots & a_{11} b_{1q} & 
 \cdots & \cdots & a_{1n} b_{11} & a_{1n} b_{12} & \cdots & a_{1n} b_{1q} \\
 a_{11} b_{21} & a_{11} b_{22} & \cdots & a_{11} b_{2q} & 
 \cdots & \cdots & a_{1n} b_{21} & a_{1n} b_{22} & \cdots & a_{1n} b_{2q} \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 a_{11} b_{p1} & a_{11} b_{p2} & \cdots & a_{11} b_{pq} & 
 \cdots & \cdots & a_{1n} b_{p1} & a_{1n} b_{p2} & \cdots & a_{1n} b_{pq} \\
 \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\
 \vdots & \vdots & & \vdots & & \ddots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
 a_{m1} b_{11} & a_{m1} b_{12} & \cdots & a_{m1} b_{1q} & 
 \cdots & \cdots & a_{mn} b_{11} & a_{mn} b_{12} & \cdots & a_{mn} b_{1q} \\
 a_{m1} b_{21} & a_{m1} b_{22} & \cdots & a_{m1} b_{2q} & 
 \cdots & \cdots & a_{mn} b_{21} & a_{mn} b_{22} & \cdots & a_{mn} b_{2q} \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 a_{m1} b_{p1} & a_{m1} b_{p2} & \cdots & a_{m1} b_{pq} & 
 \cdots & \cdots & a_{mn} b_{p1} & a_{mn} b_{p2} & \cdots & a_{mn} b_{pq} 
\end{pmatrix}

Exemples[modifica | modifica el codi]


 \begin{pmatrix}
 1 & 3 & 2 \\
 1 & 0 & 0 \\
 1 & 2 & 2
 \end{pmatrix}
\otimes
 \begin{pmatrix}
 0 & 5 \\
 5 & 0 \\
 1 & 1
 \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix}
 1 \cdot 
\begin{pmatrix}
 0 & 5 \\
 5 & 0 \\
 1 & 1
 \end{pmatrix}
& 3 \cdot 
\begin{pmatrix}
 0 & 5 \\
 5 & 0 \\
 1 & 1
 \end{pmatrix}
& 2 \cdot
\begin{pmatrix}
 0 & 5 \\
 5 & 0 \\
 1 & 1
 \end{pmatrix}\\
1 \cdot
\begin{pmatrix}
 0 & 5 \\
 5 & 0 \\
 1 & 1
 \end{pmatrix}
& 0 \cdot
\begin{pmatrix}
 0 & 5 \\
 5 & 0 \\
 1 & 1
 \end{pmatrix}
& 0 \cdot
\begin{pmatrix}
 0 & 5 \\
 5 & 0 \\
 1 & 1
 \end{pmatrix}\\
1 \cdot
\begin{pmatrix}
 0 & 5 \\
 5 & 0 \\
 1 & 1
 \end{pmatrix}
& 2 \cdot
\begin{pmatrix}
 0 & 5 \\
 5 & 0 \\
 1 & 1
 \end{pmatrix}
& 2 \cdot
\begin{pmatrix}
 0 & 5 \\
 5 & 0 \\
 1 & 1
 \end{pmatrix}
\end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} 

 0 & 5 & 0 & 15 &0 & 10 \\
 5 & 0 &15 & 0 &10 & 0 \\
 1 & 1 & 3 & 3&2 & 2\\
 0 & 5& 0 & 0 &0 & 0 \\
 5 & 0 &0 & 0 &0 & 0 \\
 1 & 1&0 & 0& 0 & 0\\
 0 & 5 &0 & 10 & 0 & 10 \\
 5 & 0 &10 & 0 &10 & 0 \\
 1 & 1&2 & 2&2 & 2
 \end{pmatrix}

Propietats[modifica | modifica el codi]

Bilinealitat i associativitat[modifica | modifica el codi]

El producte Kronecker és un cas especial del producte tensorial, i, per tant, és bilineal i associatiu:

 A \otimes (B+C) = A \otimes B + A \otimes C si B i C tenen les mateixes dimensions,
 (A+B) \otimes C = A \otimes C + B \otimes C si A i B tenen les mateixes dimensions,
 (kA) \otimes B = A \otimes (kB) = k(A \otimes B),
 (A \otimes B) \otimes C = A \otimes (B \otimes C),

on A, B i C són matrius i on k és un escalar.

El producte Kronecker no és commutatiu: Això és, en general, AB i BA són matrius diferents. Tanmateix, AB i BA són permutacions equivalents. Això és, que hi ha unes matrius de permutació P i Q tals que  A \otimes B = P \, (B \otimes A) \, Q.