Producte cartesià

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En teoria de conjunts, el producte cartesià és un producte directe de conjunts. En particular, el producte cartesià de dos conjunts X i Y, expressat com X × Y, és el conjunt de tots els parells ordenats en els quals els primer component pertany a X i el segon a Y.

X\times Y = \{(x,y) \mid x\in X\;\wedge\;y\in Y\}.

El producte cartesià rep el seu nom de René Descartes, qui va donar origen a aquest concepte al formular la geometria analítica. Així, per exemple, el producte cartesià del conjunt dels tretze elements de la baralla anglesa {As, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2} amb el conjunt dels quatre pals {♠, ♥, ♦, ♣} és el conjunt de les 52 cartes de la baralla {(As, ♠), (K, ♠), ..., (2, ♠), (As, ♥), ..., (3, ♣), (2, ♣)}.

Si els conjunts involucrats són conjunts finits, la cardinalitat (o nombre d'elements) del producte cartesià és el producte de les cardinalitats dels conjunts involucrats:

card (X×Y) = (card X)⋅(card Y)

En l'exemple anterior, el nombre d'elements del producte era 52 = 13⋅4.

Generalització finita[modifica | modifica el codi]

El quadrat cartesià d'un conjunt X es defineix com X2 = X × X. Un exemple d'això és l'espai euclidià de dues dimensions ℝ2, on ℝ és el conjunt dels nombres reals; ℝ2 és aleshores el conjunt de tots els punts (x, y) on x i y són tots dos reals.

Això es pot generalitzar en un producte cartesià n-ari sobre n conjunts X1, ..., Xn:

X_1\times\cdots\times X_n = \{(x_1, \ldots, x_n)\mid x_1\in X_1,\dots, x_n\in X_n\}.

Aquest conjunt es pot identificar amb (X1 × ... × Xn-1) × Xn; és un conjunt de n-ples.

De manera anàloga al quadrat cartesià, es pot usar en potències majors: ℝ3 = ℝ × ℝ × ℝ és l'espai euclideà tridimensional.

Teoria de categories[modifica | modifica el codi]

En la teoria de categories, el producte cartesià no és més que el producte en la categoria de conjunts.

Podeu consultar també[modifica | modifica el codi]