Producte escalar

En les matemàtiques, un producte escalar -també conegut com a producte interior o punt- és una operació algebraica entre dos vectors que resulta en un escalar. Aquesta operació permet treballar i estendre les nocions de la geometria euclidiana com ara la norma, l'angle o la distància en espais vectorials de dimensió més gran que tres o sobre el cos del complexos.

Definició del producte escalar

Sigui $E$ un espai vectorial real. Un producte escalar a $E$ és una forma bilineal simètrica:

$<\ ,\ >: E \times E \longrightarrow \mathbb{R} \,$

definida positiva. És a dir, que compleix

$<u,u>\ \geq 0, \forall u \in \mathbb{E}$

$<u,u>\ = 0 \Leftrightarrow u = \vec{0}$

Si $E$ és un espai vectorial complex, un producte escalar és una forma sesquilineal hermítica:

$<\ ,\ >: E \times E \longrightarrow \mathbb{C} \,$

definida positiva.

El conjunt format per un espai vectorial i un producte escalar determina una estructura algebraica anomenada espai euclidià. Cal notar que diferents productes escalars sobre un mateix espai vectorial determinen diferents espais euclidians i que conceptes com ara l'angle, la norma euclidiana o la distància depenen del producte escalar definit.

Definició del producte escalar usual o canònic a $R^n$

Un producte escalar especialment important pel seu ús a la Física i a la Geometria euclidiana és l'anomenat producte escalar usual o canònic sobre l'espai vectorial $R^n$.

θ és l'angle entre els dos vectors

El producte escalar de dos vectors $\vec{A}$ i $\vec{B}$ pertanyents a $R^n$ és un escalar en R definit com:

$\vec{A} \cdot \vec{B}=|\vec{A}| |\vec{B}| cos \theta$

On θ és l'angle no orientat entre els dos vectors i $|\vec{A}|$ i $|\vec{B}|$ són els mòduls dels vectors.

La notació habitual es el punt $\cdot$ per distingir-lo de l'aspa o el circumflex que s'usen pel producte vectorial de dos vectors.

En el cas que els vectors estiguin expressats com a coordenades en una base ortonormal això és, ortogonal i unitària (és a dir, base amb vectors de mòdul = 1 i que són perpendiculars entres si), el producte escalar també pot calcular-se a partir de dites coordenades com:

$\vec{A} \cdot \vec{B}=[a_1, a_2, a_3] \cdot [b_1,b_2,b_3]=a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$

Per exemple, el producte escalar de dos vectors en $R^3$ [1, 4, -3] i [2, −1, -2] és:

$\begin{bmatrix}1&4&-3\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}2&-1&-2\end{bmatrix} = (1)(2) + (4)(-1) + (-3)(-2) = 4.$

Usant el producte matricial i tractant els vectors columna com matrius n×1, el producte escalar es pot escriure com:

$\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = \mathbf{A}^T \mathbf{B} \,$

on A^T denota la transposada de la matriu A.

Usant l'exemple anterior, això resultaria en una matriu 1×3 (vector fila) multiplicat per un vector 3×1 (que com a multiplicació de matrius resultaria en una matriu 1×1, és a dir un escalar):

$\begin{bmatrix} 1&4&-3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2\\-1\\-2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \end{bmatrix}.$

Interpretació geomètrica

|$\vec{A}$|•cos(θ) és la projecció escalar de $\vec{A}$ sobre $\vec{B}$

A l'espai euclidià hi ha una forta relació entre el producte escalar les longituds dels vectors i l'angle que formen.

De l'equació abans esmentada:

$\vec{A} \cdot \vec{B}=|\vec{A}| |\vec{B}| cos \theta$

Se'n deriva que l'angle entre els dos vectors és:

$\theta = \arccos \left( \frac {\vec{A} \cdot \vec{B}} {|\vec{A}| * |\vec{B}|}\right)$

Com cos 90º = 0, si els vectors són ortogonals, el seu producte escalar és nul.

El mòdul d'un vector es pot trobar com:

$|\vec{A}| = \sqrt{\vec{A} \cdot \vec{A} }$

El mòdul correspon a la longitud del vector.

Com $|\vec{A}| cos \theta$ és la projecció escalar del vector $\vec{A}$ sobre el vector $\vec{B}$, el producte escalar es pot entendre com el producte d'aquesta projecció per la longitud de $\vec{B}$.

Propietats del producte escalar

Commutativa:

$\vec{A} \cdot \vec{B}=\vec{B} \cdot \vec{A}$

Distributiva:

$\vec{A}\cdot(\vec{B}+\vec{C})=\vec{A}\cdot\vec{B}+\vec{A}\cdot\vec{C}$

Asociativa:

La propietat associativa no té sentit pel producte escalar perquè l'operació $(\vec{A} \cdot \vec{B})\cdot \vec{C}$ és indefinida ja que $(\vec{A} \cdot \vec{B})$ és un escalar.

Malgrat tot, el producte escalar té la següent propietat:

$m (\vec{A} \cdot \vec{B})= (m\vec{A}) \cdot \vec{B}=\vec{A}\cdot(m\vec{B})$

on m és un escalar.

El producte escalar és invariant a rotacions dels vectors.

Enllaços externs

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Producte escalar

[1] mathworld.wolfram.com/DotProduct.html (en anglès)

Vegeu també

• Espai vectorial
• Combinació lineal
• Sistema generador
• Independència lineal
• Matriu de Gram
• Base (àlgebra)
• Base Ortogonal
• Base Ortonormal
• Coordenades cartesianes
• Producte vectorial
• Producte mixt
• Producte tensorial