Programació geomètrica

Un programa geomètric és un problema d'optimització de la forma

Minimitzar $\ f_0 (x)\$ tal que

$F_i (x) \leq 1, \quad i = 1, \dots, m$

$H_i (x) = 1, \quad i = 1, \dots, p$

on $f_0, \dots, F_m$ són posinomis i $h_1, \dots, h_p$ són monomis. Cal subratllar que en parlar de programació geomètrica (al contrari que en altres disciplines), un monomi es defineix com una funció $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ amb $\mathrm{dg}\ f = \mathbb{R}_{++}^n$ definit com

$F (x) = c x_1^{a_1}x_2^{a_2}\cdots x_n^{a_n}$

on $c> 0 \$ i $a_i \in \mathbb{R}$.

Té múltiples aplicacions, com el dimensionament de circuits i l'estimació paramètrica via regressió logística en estadística.

Forma convexa

Els programa geomètrics no són per regla general problemes d'optimització convexa, però poden transformar-se en ells mitjançant un canvi de variables i una transformació de les funcions objectiu i de restricció. Definint $y_i = \log{x_i}$, el monomi $f (x) = c x_1^{a_1}\cdots x_n^{a_n}\mapsto i^{a^T i+b}$, on $b = log{c}$. De la mateixa manera, si $f$ és el posinomi

$f (x) = \sum_{k = 1}^K c_k x_1^{a_{1k}}\cdots x_n^{a_{nk}}$

llavors $f (x) = \sum_{k = 1}^K i^{a_k^T i+b_k}$, on $a_k = (a_{1k}, \dots, a_{nk})$ i $b_k = \log{c_k}$. Després del canvi de variables, el posinomi es converteix en una suma d'exponencials de funcions afins.

Enllaços externs

• S. Boyd, S. J. Kim, L. Vandenberghe, and A. Hassibi - Optimization and Engineering, 8(1):67-127, 2007., A Tutorial on Geometric Programming
• S. Boyd, S. J. Kim, D. Patil, and M. Horowitz Digital Circuit Optimization via Geometric Programming
• Stephen P. Boyd, Seung-Jean Kim, Dinesh D. Patil, Mark A. Horowitz, Optimització de circuits via programació geomètrica.