Progressió aritmètica

En matemàtiques, una progressió aritmètica és una successió matemàtica de nombres tals que la diferència de dos termes successius qualssevol de la seqüència és una constant, quantitat anomenada diferència de la progressió o simplement diferència. Per exemple, la successió 3, 5, 7, 9, 11,... és una progressió aritmètica de constant (o diferència comuna) 2.

Terme general d'una progressió aritmètica

Terme general d'una progressió aritmètica és l'expressió que ens dóna qualsevol dels seus termes, conegut algun d'ells i la diferència de la progressió.

Si el terme inicial d'una progressió aritmètica és $a$ i la diferència comuna és $d$, llavors el terme $n$-ésim de la successió ve donada per

• $a + n d$,    n = 0, 1, 2, ... si el terme inicial es pren com el zero.

• $a + (n - 1)d$    n = 1, 2, 3, ... si el terme inicial es pren com el 1º.

La primera opció oferix una fórmula més senzilla, però empra una terminologia més confusa, ja que no és comú en el llenguatge l'ús de "zero" com a ordinal.

Generalitzant, sigui la progressió aritmètica

a₁, a₂, a₃, ...., a_m, ...., a_n de diferència d

tenim una successió:

a₁ = a₁

a₂ = a₁ + d

a₃ = a₂ + d

...

a_n-1 = a_n-2 + d

a_n = a_n-1 + d

El terme enèsim de la seqüència és:

$\ a_n = a_1 + (n - 1)d.$

Suma (sèrie aritmètica)

La suma dels components d'una sèrie aritmètica s'anomena serie aritmètica. La fórmula per la suma dels primers n termes d'una progressió aritmètica és:

$S_n = a_1+a_2+\dots+a_n=\frac{n( a_1 + a_n)}{2} =\frac{n[ 2a_1 + (n-1)d ]}{2}.$

Aquesta fórmula es dedueix del fet de que la suma del primer i el darrer terme és la mateixa que el segon i el penúltim, i així successivament.

Demostració:

$S_n=a_1+a_1+d+a_1+2d+\dots\dots+a_1+(n-2)d+a_1+(n-1)d$ $S_n=a_n-(n-1)d+a_n-(n-2)d+\dots\dots+a_n-2d+a_n-d+a_n$

$\ 2S_n=n(a_1+a_n)$

$S_n=\frac{n( a_1 + a_n)}{2}$.

Vegeu també

• Progressió geomètrica