Propietat de Màrkov

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

La propietat de Màrkov defineix que una cadena de Màrkov es pot caracteritzar per la probabilitat d'anar a l'estat n+1 condicionada a que abans siguem a l'estat nn:

P(X_n+1|X_n) \,

Que és la probabilitat de transició del procés. La propietat de les cadenes de Màrkov és que les transicions entre els estats, només pot produir-se entre estats veïns. Només es pot arribar a l'estat i des de l'estat i-1 o bé de i+1.

Aquest tipus d'estadístiques se sol trobar en la distribució exponencial, la funció de densitat de probabilitat de la qual s'expressa així:

f_ \tau (t) = \lambda e^{-\lambda t} \quad t>0

Comprovem que un procés definit per aquesta fdp no té memòria. La probabilitat que hi haja una transició entre 0 i un temps t qualsevol és:

 P(0< \tau < t) = P( \tau < t) = \int_{0}^{t} \lambda e^{-\lambda \tau} \, d\tau

Si integrem, obtenim:

P(\tau\ < t)=e^{-\lambda \cdot 0} - e^{-\lambda t} = 1 - e^{-\lambda t}

Ara anem a calcular la probabilitat per al mateix interval t, però amb un instant d'inici diferent t0. Calculem la probabilitat de tindre una transició en l'interval t (de t0 fins a t0+t) condicionat a que abans de t0 no hi ha hagut cap transició:

 P(t_0< \tau < t_0+t | \tau > t_0) = \frac{p(t_0< \tau < t_0+t)}{p(\tau > t_0)}

Substituint per les fdp i substituint:

 P(t_0< \tau < t_0+t | \tau > t_0) = \frac{\int_{t_0}^{t_0+t} \lambda e^{-\lambda \tau} \, d\tau}{\int_{t_0}^{\infty} \lambda e^{-\lambda \tau} \, d\tau} = \frac {e^{-\lambda t_0} - e^{-\lambda (t_0+t)}}{e^{-\lambda t_0} - e^{-\lambda \cdot \infty}} = \frac {e^{-\lambda t_0} (1 - e^{-\lambda t})}{e^{-\lambda t_0}-0} = 1 - e^{-\lambda t}

Amb la qual cosa queda demostrat que la probabilitat de tindre una transició en un estat no depèn del temps anterior.