Prova del nou

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

La prova del nou és un mètode per verificar que els càlculs fets a mà de sumes, restes, multiplicacions i divisions d'enters són correctes. La prova consisteix a assignar a cada operand i al resultat un nombre que va del 0 al 8 tot sumant els dígits amb què s'escriu el nombre en base 10; si surt un nombre més gran que 10 es tornen a sumar els dígits fins que quedi un nombre més petit que 10, i si el resultat final és 9 es transforma en 0. Després es fa l'operació amb aquests nombres que van del 0 al 8 (si cal es repeteix el procés amb el resultat per tal que també quedi un nombre entre 0 i 8). Si el resultat obtingut és igual al nombre assignat al resultat, l'operació ha passat la prova. Si l'operació està ben feta sempre passa la prova, però, si hi ha un error, hi ha possibilitats que passi la prova i que es doni per bona una operació equivocada.

Exemples[modifica | modifica el codi]

Suma[modifica | modifica el codi]

\mathit{3} 2 \mathit{6} 4\, \Rightarrow \mathit{6}\, 3+2+6+4=15; 1+5=6.
\mathit{8415}\, \Rightarrow 0\, 8+4+1+5=18; 1+8=9; 9-> 0.
2 \mathit{9} 46\, \Rightarrow \mathit{3}\, 2+9+4+6=21; 2+1=3.
\underline{+\mathit{3} 20 \mathit{6}} \Rightarrow 2\, 3+2+0+6=11; 1+1=2.
\mathit{1} 7 \mathit{8} 31\, \bigg\Downarrow 1+7+8+3+1=20; 2+0=2.
\Downarrow
{2}\, \Leftrightarrow 2\, 6+0+3+2=11;1+1=2.

Pels dos camins s'obté 2, per tant l'operació passa la prova.

Resta[modifica | modifica el codi]

\mathit{5643}\, \Rightarrow 0(9)\, 5+6+4+3=18;1+8=9; 9->0.
\underline{-2\mathit{891}}\, \Rightarrow -2\, 2+8+9+1=20;2+0=2.
\mathit{2} 7 \mathit{52}\, \bigg\Downarrow 2+7+5+2=16;1+6=7.
\Downarrow En la resta, quan el nombre assignat al minuend resulta més petit que l'assignat al subtrahend, se li afegeix 9 al minuend: 0+9=9.
{7}\, \Leftrightarrow 7\, 9-2=7.

Multiplicació[modifica | modifica el codi]

\mathit{5} \mathit{4} 8\, \Rightarrow 8\, 5+4+8=17;1+7=8.
\underline{\times 62 \mathit{9}}\, \Rightarrow 8\, 6+2+9=17; 1+7=8.
{\mathit{3} 44 \mathit{69} 2}\, \bigg\Downarrow 3+4+4+6+9+2=28; 2+8=10; 1+0=1.
\Downarrow
{1}\, \Leftrightarrow 1\, 8x8=64; 6+4=10; 1+0=1.

Divisió[modifica | modifica el codi]

Per provar la divisió es combinen els dos mètodes anteriors per comprovar que divisor x quocient + residu = dividend.

Per què funciona[modifica | modifica el codi]

En sumar repetidament els dígits, el que s'està fent és calcular el residu de dividir el nombre entre nou:

\begin{align}
 \left( 100a+10b+c \right)\left( \bmod 9 \right) &=100a\left( \bmod 9 \right)+10b\left( \bmod 9 \right)+c\left( \bmod 9 \right) \\ 
 & =a\left[ 100\left( \bmod 9 \right) \right]+b\left[ 10\left( \bmod 9 \right) \right]+c \\ 
 & =a+b+c 
\end{align}

ja que el residu de dividir una potència de 10 entre 9 és 1.

Per tant, a cada nombre se li assigna el seu representant congruent mòdul 9, i les propietats de l'aritmètica modular garanteixen que el representant del resultat és el resultat dels representants.

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]