Pullback

En matemàtiques, el concepte de pullback té diferents significats segons sigui el context. Els principals són:

• Entre conjunts: Donats dos mapatges $f\colon X\to Y$ i $g\colon Y\to Z$ la composició $g\cdot f\colon X\to Z$ pot considerar-se com el pullback de g sota f, i s'escriu simbòlicament $f^*(g)=g\cdot f$

• En l'àlgebra multilineal, donada una transformació lineal $L\colon V\to W$ entre dos espais vectorials V i W, i un funcional lineal $f\colon W\to \mathbb{R}$ llavors $L\cdot f\colon V\to \mathbb{R}$ és un nou funcional lineal; d'aquesta manera es construeix el pullback $L^*(f)=L\cdot f$ de $f\,$. Aquesta idea es generalitza per a una aplicació k-multilineal $f\colon W\otimes\cdots\otimes W\to \mathbb{R}$ i $L\colon V\to W$ lineal, llavors es pot fer el pullback $L^*(f)\colon V\otimes\cdots\otimes V\to \mathbb{R}$ mitjançant l'artifici

$L^*(f)(v_1...,v_k)=f(Lv_1...,Lv_k)\,$

Pullback del feix fibrós $F\subset E\to B$

• En els fibrosos: donat un fibrós $F\subset E\to B$ amb projecció $\pi$ i un mapatge continu $f\colon X\to B$ es pot construir un nou fibrós (anomenat el pullback d'E) $F\subset f^*E\to X$ mitjançant

$f^*E=\{(x,e)\in X\times E\colon f(x)=\pi(e)\}$