Punt d'acumulació

Dins l'entorn de topologia, el concepte de punt d'acumulació o punt límit d'un conjunt en un espai captura la noció d'estar infinitament proper al conjunt sense necessàriament pertànyer a ell. Generalitza la noció de límit de $\mathbb {R} ^{n}$.

Definició

Donat un conjunt $E$ i un punt $p$ en un espai mètric $X$, diem que $p$ és un punt d'acumulació per $E$ si qualsevol ε-entorn de $p$ sense $p$ té intersecció no buida amb $E$ .

És a dir, hi ha elements de $E$ que estan ε-propers $p$ i són diferents de $p$ mateix (aquesta restricció no apareix quan es tracta de punts d'adherència). En aquesta definició podem veure que $p$ pot estar o no en $E$.

És possible generalitzar el concepte a espais topològics reemplaçant els ε-veïnatges amb conjunts oberts.

Amb símbols

Es denota amb $E'$ al conjunt de punts límit de $E$ (també anomenat conjunt derivat), i el podem definir d'acord amb:

$E'=\{\ p\ |\ \forall B_{\varepsilon }(p)\,:\,(B_{\varepsilon }(p)\setminus \{p\})\cap E\neq \emptyset \ \}$

Exemple

L'interval $(0,1)$ té com a punts d'acumulació a l'interval $[0,1]$.

Un conjunt finit no té punts d'acumulació, ja que no tindria sentit parlar del concepte "infinitament pròxim".

El conjunt de punts d'acumulació en $\mathbb {Q}$ és igual al $\mathbb {R}$, ja que $\mathbb {Q}$ és dens a $\mathbb {R}$.

$\mathbb {N}$ no té punt d'acumulació. Per tant, cada punt en $\mathbb {N}$ és aïllat.

Caracterització de conjunts tancats

• Teorema: $E\,$ és un conjunt tancat sii $E'\subset E$ .

Vàlid en espais mètrics i topològics.

Altres conseqüències

Sigui E un subconjunt qualsevol en un espai topològic, llavors tenim:

Si $p\in E'$ llavors hi ha una successió $\mathbb {N} \to E$ que convergeix a $p$

Podem interpretar això com que per a cada element p de $\,E'$, el conjunt derivat de E (així també s'anomena el conjunt dels punts d'acumulació), hi ha elements de E que formen una successió convergent cap a p dins de E , encara que el punt ni tan sols hi estigui comprès.

La demostració d'aquesta proposició és bastant natural.

Bibliografia

• Rudin, W. "Principles of Mathematical Analysis". McGraw-Hill, 1976. ISBN 0-07-054235-X
• Steen, Lynn Arthur; J. Arthur Seebach Jr.. Counterexamples in Topology. Springer-Verlag, 1978, p. 5-6. ISBN 0-387-90312-7. 
• Wolfgang, F. "General Topology". Harrap, 1967, 23.