Punt d'acumulació

Dins l'entorn de topologia, el concepte de punt d'acumulació d'un conjunt en un espai captura la noció d'estar extremadament proper al conjunt sense pertànyer necessàriament a ell. Generalitza la noció de límit a $\mathbb{R}^n$.

També s'utilitza com a sinònim: punt límit.

Definició

Donat un conjunt $E$ i un punt $p$ en un espai mètric $X$, diem que ell és un punt d'acumulació per $E$, si qualsevol ε-veïnatge de $p$ sense $p$, té intersecció no buida amb $E$ . És a dir, hi ha elements de $E$ que estan ε-propers $p$ i són diferents de $p$ mateix (aquesta restricció no apareix quan es tracta de punts d'adherència). En aquesta definició podem veure que $p$ pot o no estar en $E$.

És possible generalitzar el concepte a espais topològics reemplaçant les ε-veïnatges amb conjunts oberts.

Amb símbols

Es denota amb $E '$ al conjunt de punts límit de $E$, podem definir d'acord amb:

$p\in E'$ si $\forall B_{\varepsilon}(p)\ :\ (B_{\varepsilon}(p)\setminus\{p\})\cap E\neq \emptyset$

Exemple

L'interval $(0,1)$ té com a punts d'acumulació a l'interval $[0,1]$.

Un conjunt finit no té punts d'acumulació (cal tenir en compte que sempre parlem de nombres reals (o complexos, o fins i tot d'racionals en un interval en què sapiguem amb seguretat que no hi ha irracionals), ja que no tindria sentit parlar del concepte "infinitament pròxim" amb els nombres enters per exemple.

El conjunt de punts d'acumulació en $Q$ és igual al $R$, ja que $Q$ és dens a $R$.

$N$ no té punt d'acumulació. Per tant, cada punt en $N$ és aïllat.

Caracterització de conjunts tancats

• Teorema: $E\,$ és un conjunt tancat si $E '\subset E$ .

Vàlid en espais mètrics i topològics. I valgut en qualsevol espai.

Altres conseqüències

Sigui N un subconjunt qualsevol en un espai topològic, llavors tenim

Si $p\in E '$ llavors hi ha una successió $\mathbb{N}\to E$ la qual convergeix a $p$

Podem interpretar això com que per a cada element de $\, E '$, el conjunt derivat de L (així també se li nomena el conjunt dels punts d'acumulació) hi ha elements de l'espai que formen una successió convergent dins de L encara que el punt ni tan sols hi estigui comprès.

La demostració d'aquesta proposició és bastant natural.

Referència

W. Rudin. Principles of Mathematical Analysis . McGraw-Hill, 1976. ISBN 0-07-054235-X