Quadrat perfecte

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, un enter n és un quadrat perfecte (també es diu un quadrat si no hi ha risc d'ambigüitat) si existeix un enter k tal que n = k^2; en altres paraules, un quadrat perfecte és el quadrat d'un enter. Per exemple, els enters 0, 1, 4 o 49 són quadrats perfectes.

En el sistema de numeració decimal, la xifra de les unitats d'un quadrat perfecte només pot ser 0, 1, 4, 5, 6 o 9. En base dotze, seria obligatòriament 0, 1, 4 o 9.

Els matemàtics s'han interessat sovint per certes curiositats en relació amb els quadrats perfectes. La més coneguda, sobretot per a la seva referència al teorema de Pitàgores, és la igualtat 3^2+4^2=5^2, que enceta l'estudi dels terns pitagòrics.

A partir de 1995, se sap segur gràcies a la demostració de l'últim teorema de Fermat que només els quadrats poden formar identitats com la de les ternes pitagòriques. En efecte, no hi ha cap solució a a^3 + b^3 = c^3amb a, b i c enters, ni a a^d + b^d= c^d amb a, b, c i d enters i d més gran que 2.

La suma dels primers quadrats perfectes ve donada per la següent fórmula:

\sum_{0 \le p \le n}p^2=0^2+1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2 = {n (n+1) (2n+1)\over 6}

Llista dels 10 primers quadrats perfectes[modifica | modifica el codi]

Potències Resultats
0
1
4
9
16
25
36
49
64
81

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Quadrat perfecte Modifica l'enllaç a Wikidata