Quantificador (lògica)

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

A lògica i teoria de conjunts, un quantificador s'utilitza per indicar quants elements d'un conjunt donat compleixen amb certa propietat. Existeixen molts tipus de quantificadors, però potser els més estudiats i utilitzats siguin:

 \forall \, x, y \ldots
Per a tot x, i. ..
 \exists \, x, y \ldots
Hi ha almenys un x, i. ..
  • Quantificador existencial únic
 \exists ! \, x, y \ldots
Hi ha exactament un x, i. ..
  • Negació del quantificador existencial
 \nexists \, x, y \ldots
No hi ha cap x, i. ..

Declaracions quantificades[modifica | modifica el codi]

Les declaracions quantificades s'escriuen en la forma:

  •  \forall \, x \in \mathbb{R}\;, \quad 2x \in \mathbb{R}

Per a tot x que pertany a R , es compleix que 2x pertany a R .

  •  \forall \, a \in \mathbb{R}, \quad \exists \, x \in \mathbb{R}\;: \quad a <x <(a+1)

Per a tot a que pertany a R , hi ha x que pertany a R , que aquesta comprès entre a i a+1 .

  •  \forall \, a \in \mathbb{R}-{0}, \quad \exists ! \, x \in \mathbb{R}\;: \quad a \cdot x = 1

Per a tot a que pertany a R diferent de zero, hi ha un únic x que pertany a R , que compleix que a per x és igual a 1 .

Proposicions[modifica | modifica el codi]

Quantificació universal[modifica | modifica el codi]

El quantificador universal es fa servir per afirmar que tots els elements d'un conjunt compleixen amb una determinada propietat. Per exemple:

 \forall x \in A \quad P (x) .

Aquesta afirmació sol usar-se com l'equivalent de la proposició següent:

 \{x \in A \mid P (x) \}= A

Quantificació existencial[modifica | modifica el codi]

El quantificador existencial es fa servir per indicar que hi ha un o més elements en el conjunt  A (no necessàriament únic/es) que compleixen una determinada propietat. Es escriu:

 \exists \, x \in A \; : \quad p (x) .

Aquesta proposició sol interpretar-se com l'equivalent de la proposició següent:

 \{x \in A \mid \quad p (x) \} \neq \emptyset

Quantificació existencial única[modifica | modifica el codi]

El quantificador existencial amb marca d'unicitat es fa servir per indicar que hi ha un únic element d'un conjunt  A que compleix una determinada propietat. Es escriu:

 \exists ! \, x, y \in A \quad p (x), q (i) .

Es llegeix "Hi ha una única parella d'elements de  A complint una pi una altra q"

Equivalències[modifica | modifica el codi]

Es defineixen:

 \neg \forall x \in A \quad P (x) \qquad \Leftrightarrow \qquad \exists x \in A \quad \neg P (x)
 \neg \exists x \in A \quad P (x) \qquad \Leftrightarrow \qquad \forall x \in A \quad \neg P (x)

Vegeu també[modifica | modifica el codi]