Quantificador universal

En lògica matemàtica, es fa servir el símbol $\forall$, anomenat quantificador universal, anteposat a una variable per dir que "per a tot" element d'un cert conjunt es compleix la proposició donada a continuació. El text es pot representar amb el caràcter ∀. Normalment, en lògica, el conjunt al qual es refereix és el univers o domini de referència, en el qual apareixen totes les constants.

Exemple

Si tenim dos conjunts A i B , i A és un subconjunt de B :

$A \subset B \; \land \; A \not = B$

Tot element x de A pertany a B :

$\forall x \in A \; \rightarrow \; x \in B \,$

Com que A i B conjunts diferents, no tots els elements i de B pertanyen a A:

$\lnot \forall y \in B \; \rightarrow \, i \in A \,$

Què podem llegir: no per tots els elements i de B , implica que i pertany a A

Relació quantificador universal i el quantificador existencial

Donada una expressió P (x), segons el quantificador universal es pot transformar en una altra equivalent amb el quantificador existencial:

$\forall x \P (x) \, \Leftrightarrow \; \lnot \exists x \ \ lnot P (x) \,$

que podríem llegir: si per a tot x es compleix P (x) no hi ha un x que no compleixi P (x) .

Segons l'exemple anterior:

$\forall x \in A \; \rightarrow \; x \in B \,$

Per a tot x que pertany a A implica que x pertany a B , que podem expressar:

$\lnot \exists x \in A \; \rightarrow \; x \notin B \,$

No hi ha un x de A i que x no aquest en a B .

Vegeu també

• Quantificador existencial
• Lògica de primer ordre