Quasi pertot

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En teoria de la mesura (una branca de l'anàlisi matemàtica), una propietat es compleix quasi pertot o gairebé a tot arreu si el conjunt d'elements per als quals no es compleix la propietat és un conjunt negligible, és a dir, un conjunt de mesura zero (Halmos 1974). En casos on la mesura no és completa, n'hi ha prou amb que el conjunt estigui contingut en un conjunt de la mesura zero. En parlar de conjunts de nombres reals, se suposa la mesura de Lebesgue llevat que es manifesti explícitament una altra cosa.

El terme Quasi pertot s'abreuja q.p.t.[1]


Propietats[modifica | modifica el codi]

  • Si f : R --> R és una funció integrable de Lebesgue i f (x) ≥; 0 quasi pertot, llavors
\int_a^b f(x) \, dx \geq 0
per a tots els nombres reals a < b .
  • Si f : R --> R és Lebesgue mesurable i
\int_a^b |f(x)| \, dx < \infty
per a tots els nombres reals a < b, llavors existeix un conjunt E (depenent de f ) tal que, si x pertany a E, la mesura de Lebesgue
\frac{1}{2\epsilon} \int_{x-\epsilon}^{x+\epsilon} f(t)\,dt
convergeix a f(x) quan \epsilon tendeix a zero. El conjunt E s'anomena el conjunt de Lebesgue de f. Es pot demostrar que el seu complementari té mesura zero. En altres paraules, la mesura de Lebesgue de f convergeix a f quasi pertot.
  • Si f (x, y) és Borel measurable en R2 llavors quasi per a tota x, la funció y -->f (x, y) és Borel mesurable.

Definició fent servir ultrafiltres[modifica | modifica el codi]

A fora del context de l'anàlisi real, la idea d'una propietat veritable quasi pertot a vegades es defineix en termes d'un ultrafiltre. Un ultrafiltre en un conjunt X és una col·lecció màxima F de subconjunts de X tal que:

  1. Si UF i UV llavors VF.
  2. La intersecció de dos conjunts qualssevol en F pertany a F.
  3. El conjunt buit no pertany a F.

Una propietat dels punts de X es compleix quasi pertot, respecte d'un ultrafiltre F, si el conjunt de punts per als X es compleix pertany a F .

Per exemple, una construcció del sistema de nombres hiperreals defineix un nombre hiperreal com la classe d'equivalència de les successions que són iguals quasi pertot tal com es defineixen per un ultrafiltre.

La definició de quasi pertot en termes d'ultrafiltres està relacionada amb la definició en termes de mesures, perquè cada ultrafiltre defineix una mesura finita additiva que pren només els valors 0 i 1, on un conjunt té mesura 1 si i només si està inclòs en l'ultrafiltre.

Referències[modifica | modifica el codi]

  1. Noguera Sánchez, Miquel; Miquel Noguera Batlle. «Apendix B». A: Edicions UPC. Càlcul numèric. Teoria i pràctica (en català), 2000, p. 424. ISBN 84-8301-381-9.