Radian

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

El radian (també escrit radiant, símbol: rad) és la unitat d'angle pla en el Sistema Internacional d'Unitats. Un radian és l'angle que comprèn un arc de circumferència amb una longitud igual al radi de la circumferència.

El radian és la unitat natural d'angles. Les mesures d'angle en radians se solen donar sense cap unitat explícita. Quan es dóna una unitat, se sol utilitzar el símbol rad.

L'angle α mesurat en radians d'una circumferència de radi r és:

\alpha_{circumferencia}=\frac {L_{circumferencia}}{r} =\frac {2 \times \pi \times r}{r}=2 \times \pi

Per tant, hi ha 2π radians (aproximadament 6,28318531) en una circumferència completa.

Radians i graus[modifica | modifica el codi]

L'equivalència entre radians i graus és la següent:

2\pi\;\mbox{rad} = 360^\circ
1\; \mbox{rad} = \frac {360^\circ} {2 \pi} = \frac{180^\circ}{\pi} \approx 57,29577951^\circ \approx { 57^\circ\, 17'\, 45''}

o:

360^\circ=2\pi\, \mbox{rad}
1^\circ=\frac{2\pi}{360}\, \mbox{rad}=\frac{\pi}{180}\,\mbox{rad} \approx 0,01745329\, \mbox{rad}

De forma més general, podem dir:

x\; \mbox{rad} = x \frac {180^\circ} {\pi}

Si, per exemple, tenim -1,570796 en radians, el valor corresponent en graus seria:

-1,570796\; \mbox{rad} = -1,570796 \cdot \frac {180^\circ} {\pi} = -90^\circ

Radians en el càlcul infinitesimal[modifica | modifica el codi]

En el càlcul infinitesimal, els angles s'han de representar en radians en les funcions trigonomètriques, per fer les identitats i els resultats tan simples i naturals com sigui possible. Per exemple, la següent identitat, on l'angle x està expressat en radians, és tan simple com,

\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1

que és la base de moltes altres elegants identitats matemàtiques com,

\frac{d}{dx} \sin x = \cos x

Anàlisi dimensional[modifica | modifica el codi]

Encara que el radian és una unitat de mesura, qualsevol cosa mesurada en radians és adimensional.

Una forma de veure l'adimensionalitat del radian és en les Sèrie de Taylor de les funcions sinus i cosinus:

\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \cdots
\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \cdots

on x s'expressa en radians.

Si x tingués unitats, la suma no tindria sentit, ja que el terme lineal x no es pot sumar al terme cúbic x^3/3!, etc. Per tant, x ha de ser adimensional.

Una altra forma de veure-ho és a partir de la seva definició com a quocient de dues longituds (un arc de circumferència i el seu radi).

El radian és útil per distingir entre magnituds de diferent naturalesa però amb les mateixes dimensions. Per exemple, la velocitat angular es pot mesurar en radians per segon (rad/s). Mantenir la paraula radian emfatitza que la velocitat angular és igual a 2π vegades la freqüència de rotació.

Altres unitats d'angle[modifica | modifica el codi]

Altres unitats de mesura d'angles són la volta o revolució, el grau sexagesimal, el grau centesimal i, en astronomia, l'hora.

Per a la unitat de mesura dels angles sòlids, vegeu estereoradian.


A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Radian Modifica l'enllaç a Wikidata