Reducció d'ordre

En matemàtiques, la reducció d'ordre és una tècnica utilitzada per resoldre equacions diferencials ordinàries de segon ordre. Es fa servir quan la primera de dues solucions ($y_1$) és coneguda i es busca la segona ($y_2$).

Ús

Donada una equació diferencial

$y''+p(t)y'+q(t)y=0\,$

i una sola solució ($y_1(t)$), i sigui la segona solució definida per

$y_2=v(t)y_1(t)\,$

on $v(t)$ és una funció arbitrària. Així,

$y_2'=v'(t)y_1(t)+v(t)y_1'(t)\,$

i

$y_2''=v''(t)y_1(t)+2v'(t)y_1'(t)+v(t)y_1''(t).\,$

Si se substitueixen per $y$, $y'$, i $y''$ a l'equació diferencial, llavors

$y_1(t)\,v''+(2y_1'(t)+p(t)y_1(t))\,v'+(y_1''(t)+p(t)y_1'(t)+q(t)y_1(t))\,v=0.$

Com que $y_1(t)$ és solució de l'equació diferencial original, $y_1''(t)+p(t)y_1'(t)+q(t)y_1(t)=0$, es pot reduir a

$y_1(t)\,v''+(2y_1'(t)+p(t)y_1(t))\,v'=0$

que és una equació diferencial de primer ordre per $v'(t)$. Dividint per $y_1(t)$, s'obté

$v''+\left(\frac{2y_1'(t)}{y_1(t)}+p(t)\right)\,v'=0$

i $v'(t)$ es pot trobar fent servir el mètode general. Un cop s'ha trobat $v'(t)$, s'integra i se substitueix a l'equació original per $y_2$:

$y_2=v(t)y_1(t).\,$

Referències

• (anglès) W. E. Boyce and R. C. DiPrima, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (8th edition), John Wiley & Sons, Inc., 2005. ISBN 0-471-43338-1.
• (anglès) Eric W. Weisstein, Second-Order Ordinary Differential Equation Second Solution, From MathWorld--A Wolfram Web Resource.