Regla d'or de Fermi

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Gràcies a la regla d'or de Fermi podem comprendre per què unes línies espectrals són més intenses que altres, entre altres coses.

La regla d'or de Fermi és un mètode emprat en teoria de pertorbacions per calcular la taxa de transició (és a dir, la probabilitat que es produeixi una transició donada per unitat de temps) entre un autoestat de l'energia donat i un continu de autoestats.

En altres paraules, explica per què unes línies espectrals atòmiques brillen amb més intensitat que altres, en lloc de tenir totes la mateixa intensitat (que és el que, erròniament, prediu el model de Bohr).

Història[modifica | modifica el codi]

La regla d'or de Fermi és un bon exemple de la llei de Stigler, atès que si bé rep el nom de Enrico Fermi, la major part de la teoria va ser desenvolupada per Paul Dirac el 1927,[1] qui va arribar a una equació gairebé idèntica. La regla va ser associada a Fermi pel fet que aquest la coneixia com Regla d'Or Número 2 , a causa de la utilitat de la mateixa.[2]

Teoria[modifica | modifica el codi]

Suposem un sistema l'hamiltonià total és:

 H_T = H_0+H_1

On H 0 és la part sense pertorbar, que no depèn del temps, mentre que H 1 és la pertorbació, que en general sí que depèn del temps (però no necessàriament).

Volem calcular la probabilitat per unitat de temps que el sistema passi del autoestat inicial |i \rangle al conjunt d'estats finals |f \rangle .

  • Si H 1 no depèn del temps, els únics estats que el sistema pot aconseguir en el continu seran aquells que tinguin la mateixa energia de l'estat inicial (conseqüència del fet que quan l'hamiltoniano total H T és independent del temps, l'energia total ha de conservar).
  • Si H 1 és una funció sinusoïdal dependent del temps sovint  \omega , la diferència entre les energies dels estats inicial i final serà  \hbar \omega .

En ambdós casos, la probabilitat de transició per unitat de temps des de l'estat inicial al final és:

 T_{i \rightarrow f}= \frac{2 \pi}{\hbar} \left|\langle f|H_1|i \rangle \right|^{2}\rho,

on  \rho és la densitat d'estats finals (la quantitat d'estats per unitat d'energia), i  \langle f|H_1|i \rangle és, emprant la notació bra-ket, l'element de matriu de la pertorbació H 1 entre els estats inicial i final.

En altres termes, el que aquesta fórmula diu és que la probabilitat de la transició és proporcional a l'acoblament entre els estats inicial i final (l'element de matriu) pel nombre de maneres diferents en què es pot donar la transició (la densitat d'estats ).

Referències[modifica | modifica el codi]

  1. Dirac, PAM. 2819270301% 29114% 3A767% 3C243% 3ATQTOTE% 3E2.0 . CO% 3B2-L The Quantum Theory of Emission and Absorption of Radiation. 114, 1927, p. 243-265. (Vegeu equacions [24] i [32]).
  2. Fermi, I. Nuclear Physics. University of Chicago Press, 1950.