Regla de Cramer

La regla de Cramer és un teorema, en àlgebra lineal, que dóna la solució d'un sistema lineal d'equacions en termes de determinants. Rep aquest nom en honor a Gabriel Cramer (1704 - 1752).

Sigui $A\vec x= \vec b$ és un sistema d'equacions lineals (A és la matriu de coeficients del sistema, $\vec x$ és el vector columna de les incògnites i $\vec b$ és el vector columna dels termes independents):

$A = \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}; \vec x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots\\ x_n \end{pmatrix}; \vec b = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots\\ b_n \end{pmatrix}$

Si $\det(A)\ne 0$, aleshores la solució del sistema és:

$x_j = {\det(A_j) \over \det(A)},\quad j=1,\dots, n,$

on $A_j$ és la matriu resultant de reemplaçar la j-èssima columna de la matriu A pel vector columna $\vec b$, és a dir:

$A_j = \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1,j-1} & b_1 & a_{1,j+1} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & \ddots & & & & & \vdots \\ \vdots & & \ddots & & & & \vdots \\ \vdots & & & \ddots & & & \vdots \\ \vdots & & & & \ddots & & \vdots \\ \vdots & & & & & \ddots & a_{n-1n} \\ a_{n1} & \cdots & a_{n,j-1} & b_n & a_{n,j+1} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}$

Exemple

Donat el següent sistema d'equacions:

$ax+by = {\color{red}e}\,$

$cx+dy = {\color{red}f}\,$

que en forma matricial és:

$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} {\color{red}e} \\ {\color{red}f} \end{pmatrix}$

usant la regla de Cramer:

$x = \frac { \begin{vmatrix} {\color{red}e} & b \\ {\color{red}f} & d \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} } = { {\color{red}e}d - b{\color{red}f} \over ad - bc}$

$y = \frac { \begin{vmatrix} a & {\color{red}e} \\ c & {\color{red}f} \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} } = { a{\color{red}f} - {\color{red}e}c \over ad - bc}$