Regla de Cramer

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

La regla de Cramer és un teorema, en àlgebra lineal, que dóna la solució d'un sistema lineal d'equacions en termes de determinants. Rep aquest nom en honor a Gabriel Cramer (1704 - 1752).

Sigui A\vec x= \vec b és un sistema d'equacions lineals (A és la matriu de coeficients del sistema, \vec x és el vector columna de les incògnites i \vec b és el vector columna dels termes independents):

A = \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}; \vec x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots\\ x_n \end{pmatrix}; \vec b = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots\\ b_n \end{pmatrix}

Si \det(A)\ne 0, aleshores la solució del sistema és:

x_j = {\det(A_j) \over \det(A)},\quad j=1,\dots, n,

on A_j és la matriu resultant de reemplaçar la j-èssima columna de la matriu A pel vector columna \vec b, és a dir:

A_j = \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1,j-1} & b_1 & a_{1,j+1} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & \ddots & & & & & \vdots \\ \vdots & & \ddots & & & & \vdots \\ \vdots & & & \ddots & & & \vdots \\ \vdots & & & & \ddots & & \vdots \\ \vdots & & & & & \ddots & a_{n-1n} \\ a_{n1} & \cdots & a_{n,j-1} & b_n & a_{n,j+1} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}

Exemple[modifica | modifica el codi]

Donat el següent sistema d'equacions:

ax+by = {\color{red}e}\,
cx+dy = {\color{red}f}\,

que en forma matricial és:

\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} {\color{red}e} \\ {\color{red}f} \end{pmatrix}

usant la regla de Cramer:

x = \frac { \begin{vmatrix} {\color{red}e} & b \\ {\color{red}f} & d \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} } = { {\color{red}e}d - b{\color{red}f} \over ad - bc}
y = \frac { \begin{vmatrix} a & {\color{red}e} \\ c & {\color{red}f} \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} } = { a{\color{red}f} - {\color{red}e}c \over ad - bc}