Regla del quocient

A càlcul, la regla del quocient és un mètode per a calcular la derivada de una funció que consisteix en el quocient de altres dues per a les quals la derivada existeix.

Si la funció que es vol derivar, $f(x)$, es pot escriure com

$f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}$

i $h(x)$ ≠ $0$, llavors la regla diu que la derivada de $g(x)/h(x)$ és igual a:

$\frac{d}{dx}f(x) = f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2}.$

O de forma més precisa, per a tot $x$ que pertany a algun conjunt obert que conté el nombre $a$, amb $h(a)$ ≠ $0$; i, tal que $g'(a)$ i $h'(a)$ existeixen totes dues; llavors, $f'(a)$ també existeix:

$f'(a)=\frac{g'(a)h(a) - g(a)h'(a)}{[h(a)]^2}.$

Exemples

La derivada de $(4x - 2)/(x^2 + 1)$ és

$\frac{d}{dx} \frac{(4x - 2)}{x^2 + 1}$	$=\frac{(x^2 + 1)(4) - (4x - 2)(2x)}{(x^2 + 1)^2}$
	$=\frac{(4x^2 + 4) - (8x^2 - 4x)}{(x^2 + 1)^2}$
	$=\frac{-4x^2 + 4x + 4}{(x^2 + 1)^2}$

A l'exeple de dalt, s'ha triat:

$g(x) = 4x - 2$

$h(x) = x^2 + 1$

De forma anàloga, la derivada de $\sin(x)/x^2$ (quan $x$ ≠ 0) és:

$\frac{\cos(x) x^2 - \sin(x)2x}{x^4}$

Per a més informació referent a les derivades de les funcions trigonomètriques vegeu: derivada.

Un altre exemple és:

$f(x) = \frac{2x^2}{x^3}$

on $g(x) = 2x^2$ i $h(x) = x^3$, i $g'(x) = 4x$ i $h'(x) = 3x^2$.

La derivada de $f(x)$ es determina tal com segueix:

$f'(x)\,$	$=\frac {\left(4x \cdot x^3 \right) - \left(2x^2 \cdot 3x^2 \right)} {\left(x^3\right)^2}$
	$=\frac{4x^4 - 6x^4}{x^6}$
	$=\frac{-2x^4}{x^6}$
	$=-\frac{2}{x^2}$

Demostracions

A partir de la definició de derivada

Suposant que $f(x) = g(x)/h(x)$

on $h(x)$≠ 0 i $g$ i $h$ són derivables.

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{g(x + \Delta x)}{h(x + \Delta x)} - \frac{g(x)}{h(x)}}{\Delta x}$

$= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \left( \frac{g(x+\Delta x)h(x)-g(x)h(x+\Delta x)}{h(x)h(x+\Delta x)} \right)$

$= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \left( \frac{(g(x+\Delta x)h(x)-g(x)h(x))-(g(x)h(x+\Delta x)-g(x)h(x))}{h(x)h(x+\Delta x)} \right)$

$= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \left( \frac{h(x)(g(x+\Delta x)-g(x))-g(x)(h(x+\Delta x)-h(x))}{h(x)h(x+\Delta x)} \right)$

$= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}h(x)-g(x)\frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}{h(x)h(x+\Delta x)}$

$= \frac{\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}\right)h(x) - g(x) \lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}\right)}{h(x)h(\lim_{\Delta x \to 0} (x+\Delta x))}$

$= \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2}$

A partir de la regla del producte

Suposant que $f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}$

$g(x) = f(x)h(x) \mbox{ } \,$

$g'(x)=f'(x)h(x) + f(x)h'(x)\mbox{ } \,$

La resta consisteix en aplicar les regles del àlgebra per a fer que $f'(x)$ sigui l'únic terme del cantó esquerra de l'equació i per a eliminar $f(x)$ del cantó dret de l'equació.

$f'(x)=\frac{g'(x) - f(x)h'(x)}{h(x)} = \frac{g'(x) - \frac{g(x)}{h(x)}\cdot h'(x)}{h(x)}$

$f'(x)=\frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{\left(h(x)\right)^2}$

De forma alternativa, es pot aplicar la regla del producte directament, sense haver de fer ús de la substitució:

$f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} = g(x) [h(x)]^{-1}$

I tot seguit aplicar la regla de la cadena per a derivar $h(x)^{-1}$:

$f'(x) = g'(x) [h(x)]^{-1} + g(x) (-1) [h(x)]^{-2} h'(x) = \frac{g'(x) h(x) - g(x) h'(x)}{[h(x)]^2}$

A partir de la regla de la cadena

Es considera la identitat

$\frac{u}{v}\; =\; \frac{1}{4}\left[ \left( u+\frac{1}{v} \right)^{2}-\; \left( u-\frac{1}{v} \right)^{2} \right]$

Llavors

$\frac{d\left( \frac{u}{v} \right)}{dx}\; =\; \frac{d}{dx}\frac{1}{4}\left[ \left( u+\frac{1}{v} \right)^{2}-\; \left( u-\frac{1}{v} \right)^{2} \right]$

Porta a

$\frac{d\left( \frac{u}{v} \right)}{dx}\; =\; \frac{1}{4}\left[ 2\left( u+\frac{1}{v} \right)\left( \frac{du}{dx}-\frac{dv}{v^{2}dx} \right)-\; 2\left( u-\frac{1}{v} \right)\left( \frac{du}{dx}+\frac{dv}{v^{2}dx} \right) \right]$

Operant s'obté

$\frac{d\left( \frac{u}{v} \right)}{dx}\; =\; \frac{1}{4}\left[ \frac{4}{v}\frac{du}{dx}-\frac{4u}{v^{2}}\frac{dv}{dx} \right]$

Per acabar, es treu comú denominador i en queda el resultat esperat

$\frac{d\left( \frac{u}{v} \right)}{dx}\; =\; \frac{\left[ v\frac{du}{dx}-u\frac{dv}{dx} \right]}{v^{2}}$

Emprant diferencials totals

Una demostració fins i tot més elegant és conseqüència de la llei referent als diferencials totals, que diu que el diferencial total,

$dF = \frac{\partial F}{\partial x} dx + \frac{\partial F}{\partial y} dy + \frac{\partial F}{\partial z} dz + ...$

De qualsevol funció a qualsevol conjunt de quantitats es pot descompondre de la següent forma, sense importat quines variables independents hi hagi a la funció (és a dir no importa quines variables es prenguin ja que no poden expressar-se com a funcions de altres variables). Això vol dir que, si N i D són totes dues funcions de una variable independent x, i $F = N(x)/D(x)$, llavors han de ser veritat simultàniament que

(*) $dF = \frac{\partial F}{\partial x}dx$

I que

$dF = \frac{\partial F}{\partial N}dN + \frac{\partial F}{\partial D}dD$.

Però sabent que $dN = N'(x) dx$ i $dD = D'(x) dx$.

Substituint i fent aquest dos diferencials totals iguals a un tercer (donat que representen límits que es poden manipular), s'obté l'equació

$\frac{\partial F}{\partial x} dx = \frac{\partial F}{\partial N}N'(x) dx + \frac{\partial F}{\partial D}D'(x) dx$

La qual requereix que

(#) $\frac{\partial F}{\partial x} = \frac{\partial F}{\partial N}N'(x) + \frac{\partial F}{\partial D}D'(x)$.

Calculant les parcials de la dreta:

$\frac{\partial F}{\partial N} = \frac{\partial (N/D)}{\partial N} = \frac{1}{D}$;

$\frac{\partial F}{\partial D} = \frac{\partial (N/D)}{\partial D} = -\frac{N}{D^2}$.

Si se substitueixen dins de (#),

$\frac{\partial F}{\partial x} = \frac{N'(x)}{D(x)} - \frac{N(x) D'(x)}{D(x)^2}$

$\frac{\partial F}{\partial x} = \frac{D(x)N'(x)}{D(x)^2} - \frac{N(x) D'(x)}{D(x)^2}$

La qual dona la regla del quocient, donat que, per a (*),

$\frac{dF}{dx} = \frac{\partial F}{\partial x}$.

Aquesta demostració és forma més sistemàtica de demostrar el teorema en termes de límits, i per tant, és equivalent a la primera demostració – i fins i tot es redueix a ella si es fan les substitucions adequades als llocs adequats.

Vegeu també

• Regla del producte
• Regla de la cadena