Relació transitiva

Exemple: Si a és més gran que b i b és més gran que c, llavors a és més gran que c.

En matemàtiques, la transitivitat és una propietat que pot tenir una relació binària. Una relació $R$ sobre un conjunt $A$ és transitiva quan es compleix que: sempre que un element es relaciona amb un altre i aquest últim amb un tercer, llavors el primer també es relaciona amb el tercer.

Expressat més formalment:

$\forall a, b, c \in \mathbb{A}: \quad aRb \quad \and \quad bRc \longrightarrow \quad aRc$

Exemples

Relacions d'ordre en els naturals

Un exemple de relació binària transitiva, en el conjunt $\N$ dels nombres naturals, és la relació "menor o igual que" ($\le$):

$\forall a, b, c \in \N : \quad a \le b \quad \and \quad b \le c \longrightarrow \quad a \le c$

Així doncs:

$2, 5, 7 \in \N : \quad 2 \le 5 \quad \and \quad 5 \le 7 \longrightarrow \quad 2 \le 7$

En general les relacions d'ordre (ser menor, major, igual, menor o igual, major o igual) són transitives.

Divisibilitat de naturals

El mateix és cert amb la relació "divideix a", en el conjunt dels naturals:

$\forall a, b, c \in \N : \quad a | b \quad \and \quad b | c \longrightarrow \quad a | c$

Per tot $a, b, c \in \N$, si a divideix a b i b divideix a c, llavors a divideix a c. Per exemple, donat que 3|12 (3 divideix a 12) i 12|48 (12 divideix a 48), la transitivitat estableix que 3|48 (3 divideix a 48).