Relació transitiva

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Exemple: Si a és més gran que b i b és més gran que c, llavors a és més gran que c.

En matemàtiques, la transitivitat és una propietat que pot tenir una relació binària. Una relació R sobre un conjunt A és transitiva quan es compleix que: sempre que un element es relaciona amb un altre i aquest últim amb un tercer, llavors el primer també es relaciona amb el tercer.

Expressat més formalment:


 \forall a, b, c \in \mathbb{A}:
 \quad aRb \quad \and \quad bRc
 \longrightarrow \quad
 aRc

Exemples[modifica | modifica el codi]

Relacions d'ordre en els naturals[modifica | modifica el codi]

Un exemple de relació binària transitiva, en el conjunt \N dels nombres naturals, és la relació "menor o igual que" (\le):


 \forall a, b, c \in \N :
 \quad a \le b \quad \and \quad b \le c
 \longrightarrow \quad
 a \le c

Així doncs:


 2, 5, 7 \in \N :
 \quad 2 \le 5 \quad \and \quad 5 \le 7
 \longrightarrow \quad
 2 \le 7


En general les relacions d'ordre (ser menor, major, igual, menor o igual, major o igual) són transitives.

Divisibilitat de naturals[modifica | modifica el codi]

El mateix és cert amb la relació "divideix a", en el conjunt dels naturals:


 \forall a, b, c \in \N :
 \quad a | b \quad \and \quad b | c
 \longrightarrow \quad
 a | c


Per tot a, b, c \in \N, si a divideix a b i b divideix a c, llavors a divideix a c. Per exemple, donat que 3|12 (3 divideix a 12) i 12|48 (12 divideix a 48), la transitivitat estableix que 3|48 (3 divideix a 48).