Relacions de Kramers-Kronig

En matemàtiques i en física, les relacions de Kramers-Kronig descriuen la relació que existeix entre la part real i la part imaginària de certes funcions complexes. La condició perquè s'apliquin a una funció $f (\omega)$ és que aquesta ha de representar la transformada de Fourier d'un procés físic lineal i causal. Si escrivim

$F (\omega) = f_1 (\omega)+i F_2 (\omega)$,

amb $f_1$ i $F_2$ dues funcions reals, llavors les relacions de Kramers-Kronig són

$f_1 (\omega) = \frac{2}{\pi}\int_0^{\infty} \frac{\Omega F_2 (\Omega)}{\Omega^2 - \omega^2}d \Omega$

$F_2 (\omega) = - \frac{2 \omega}{\pi}\int_0^{\infty} \frac{f_1 (\Omega)}{\Omega^2 - \omega^2}d \Omega$.

Les relacions de Kramers-Kronig estan relacionades amb la transformada de Hilbert, i són freqüentment aplicades a la permitivitat $\epsilon (\omega)$ dels materials. No obstant això, en aquest cas, cal tenir en compte que:

$F (\omega) = \chi (\omega) = \epsilon (\omega)/\epsilon_0 - 1 \,$,

amb $\chi (\omega)$ la susceptibilitat elèctrica del material. La susceptibilitat pot interpretar com la transformada de Fourier de la resposta temporal del material a una excitació infinitament breu, és a dir, la seva resposta a l'impuls.