Relacions de Kramers-Kronig

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques i en física, les relacions de Kramers-Kronig descriuen la relació que existeix entre la part real i la part imaginària de certes funcions complexes. La condició perquè s'apliquin a una funció  f (\omega) és que aquesta ha de representar la transformada de Fourier d'un procés físic lineal i causal. Si escrivim[1]

 F (\omega) = f_1 (\omega)+i F_2 (\omega) ,

amb  f_1 i  F_2 dues funcions reals, llavors les relacions de Kramers-Kronig són


f_1 (\omega) = \frac{2}{\pi}\int_0^{\infty}
\frac{\Omega F_2 (\Omega)}{\Omega^2 - \omega^2}d \Omega
 F_2 (\omega) = - \frac{2 \omega}{\pi}\int_0^{\infty}
\frac{f_1 (\Omega)}{\Omega^2 - \omega^2}d \Omega
.

Les relacions de Kramers-Kronig estan relacionades amb la transformada de Hilbert, i són freqüentment aplicades a la permitivitat  \epsilon (\omega) dels materials. No obstant això, en aquest cas, cal tenir en compte que:

 F (\omega) = \chi (\omega) = \epsilon (\omega)/\epsilon_0 - 1 \, ,

amb  \chi (\omega) la susceptibilitat elèctrica del material. La susceptibilitat pot interpretar com la transformada de Fourier de la resposta temporal del material a una excitació infinitament breu, és a dir, la seva resposta a l'impuls.[2]

Referències[modifica | modifica el codi]

  1. Stephen H. Hall, Howard L. Heck.. Advanced signal integrity for high-speed digital designs. Hoboken, N.J.: Wiley, 2009, p. 331–336. ISBN 0-470-19235-6. 
  2. John David Jackson. Classical Electrodynamics. Wiley, 1999, p. 332–333. ISBN 0-471-43132-X.