Representació decimal

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Aquest article proporcional una definició matemàtica. Per a un article més accessible, vegeu Nombre decimal.

Una representació decimal d'un nombre real no negatiu r és una expressió en forma d'una sèrie, que tradicionalment s'escriu com la suma

 r=\sum_{i=0}^\infty \frac{a_i}{10^i}

on a0 és un enter no negatiu, i a1, a2, … són enters que satisfan 0 ≤ ai ≤ 9, que hom anomena els dígits de la representació decimal. La successió de dígits pot ser finita, i en aquest cas els dígits posteriors ai són 0. Alguns autors estan en contra de les representacions decimals amb una seqüència infinita de 9.[1] Tot i aquesta restricció, encara existeix una representació decimal per a cada real no negatiu, i addicionalment fa que aquesta representació sigui única. El nombre que es defineix per una representació decimal s'acostuma a escriure:

r=a_0,a_1 a_2 a_3\ldots

És a dir, a0 és la part entera de r, no necessàriament entre 0 i 9, i a1, a2, a3, … són els dígits que configuren la part fraccionària de r.

Totes dues notacions són, per definició, el següent límit:

 r=\lim_{n\to \infty} \sum_{i=0}^n \frac{a_i}{10^i}.

Aproximacions decimals finites[modifica | modifica el codi]

Tot nombre real es pot aproximar, amb un grau arbitrari de precisió, per nombres racionals amb representacions decimals finites.

Suposem que x\geq 0. Llavors, per qualsevol enter n\geq 1 existeix un decimal finit r_n=a_0.a_1a_2\ldots a_n tal que:

r_n\leq x < r_n+\frac{1}{10^n}.\,

La representació decimal no és única[modifica | modifica el codi]

Article principal: 0,999...

Alguns nombres reals tenen dues representacions decimals infinites. Per exemple, el nombre 1 es pot representar tant 1,000... com 0,999... (aquí, hem representat les seqüències infinites de 0 i de 9 per "...").

Representacións amb nombre finit de decimals[modifica | modifica el codi]

L'expansió decimal d'un nombre real no negatiu x finalitza smb zeros (o amb nous) si i només si x és un nombre racional amb denominador de la forma 2n5m, on m i n són enters no negatius.

Representacions decimals periòdiques[modifica | modifica el codi]

Article principal: Nombre decimal periòdic

Alguns nombres reals tenen representacions decimals on alguns (un o més) dígits es repeteixen:

1/3 = 0.33333...
1/7 = 0.142857142857...
1318/185 = 7.1243243243...

Quan succeeix això, el nombre és un racional, és a dir, es pot representar pel quocient entre un enter i un enter positiu.

Curiositats[modifica | modifica el codi]

  • El nombre real representat per 0,1234567891011121314151617... té una representació decimal previsible i no periòdica. Aquest real és la constant de Champernowne, anomenada així pel matemàtic anglès que la va inventar el 1933. Aquest nombre és irracional, transcendent (demostrat per Kurt Mahler el 1961) i normal en base 10.
  • La constant de Copeland-Erdős 0,2357111317192329313741..., formada per la successió dels nombres primers, també és normal en base 10.
  • El nombre real representat per 0,110001000000000000000001..., és a dir, al suma de les potències factorials negatives de 10 (10-1 + 10-2 + 10-6 + ...+ 10 -k! + ...) té un desenvolupament decimal previsible i no periòdic. Aquest nombre és la constant de Liouville, que és irracional i transcendent.
  • Si hom escull a l'atzar, segons la distribució uniforme contínua, un nombre real entre 0 i 1, els dígits del seu desenvolupament decimal formen una seqüència de variables aleatòries independents sobre [0,9]. Aquest fet és la clau per la demostració del teorema del nombre normal de Borel. Arran d'aquesta demostració, Borel descobrí l'anomenat lema de Borel-Cantelli i demostrà la primera versió conegura de la llei forta dels grans nombres.

Notes[modifica | modifica el codi]

  1. \lfloor x \rfloor representa la part entera de x.

Referències[modifica | modifica el codi]

  1. Knuth, Donald E. «Volum 1, Fundamental algorithms». A: The art of computer programming. 3rd ed.. Reading, Mass.: Addison-Wesley, 1997, p. 21. ISBN 978-0201896831. 

Bibliografia[modifica | modifica el codi]

  • Apostol, Tom M. Mathematical analysis.. 2d ed.. Reading, Mass.: Addison-Wesley, 1975. ISBN 978-0201002881. 

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]

  • Plouffe's inverter intenta verificar un nombre a partir de la seva representació decimal. Per exemple, si s'hi introdueix 3,14159265 informarà que probablement prové del nombre π.