Restricció

De Viquipèdia

En matemàtiques, una restricció és una condició que ha de satisfer una solucions d'un problema d'optimització. Hi ha dos tipus de restriccions: restriccions d'igualtat i restriccions de desigualtat. El conjunt de solucions que satisfan totes les restriccions s'anomena el conjunt de solucions possibles.

[edita] Exemple

A continuació un exemple senzill de problema d'optimització:

$\min f(\bold x) = x_1^2+x_2^4$

subjecte a

$x_1 \ge 1$

i

$x_2 = 1, \,$

on $\bold x$ fa referència al vector (x₁, x₂).

En aquest exemple, la primera línia defineix la funció que cal minimitzar (anomenada funció objectiu). La segona i la tercera línia defineixen dues restriccions, la primera de les quals és una restricció de desigualtat i la segona és una restricció d'igualtat. Aquestes dues restriccions defineixen el conjunt de solucions possibles.

Sense restriccions, la solució seria $(0,0)\,$ on $f(\bold x)$ té el valor més baix. Tanmateix, aquesta solució no satisfà les restriccions. La solució del problema d'optimització restringit anterior és $\bold x = (1,1)$ , que és el punt amb el valor de $f(\bold x)$ més baix que satisfà les dues restriccions.

En forma canònica, les restriccions s'escriuen mitjançant funcions restricció a un costat de la igualtat o desigualtat i zero a l'altre costat. A l'exemple de més amunt, les restriccions es poden escriure en forma canònica de la següent manera:

$c_1(\bold x)=1-x_1 \le 0$

i

$c_2(\bold x)=1-x_2 = 0.$

De la mateixa manera, les restriccions de desigualtat es poden escriure en forma canònica amb els signes oposats. En conseqüència, la primera restricció es pot escriure com

$c_1(\bold x)=x_1 -1.$