Rosa (matemàtiques)

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Rosa de k = 7 pètals.
Rosa de 8 pètals (k=4).
Roses definides per r=\sin k \theta, per a diversos valors de k=n/d.

En matemàtiques, una rosa o corba rhodonea és una sinusoide dibuixada en coordenades polars. Aquestes corbes es poden expressar amb una equació polar de la forma

\!\,r=\cos(k\theta).

Si k és un enter, la corba serà una rosa de

  • 2k pètals si k és parell, i
  • k pètals si k és senar.

Quan k és parell, la gràfica completa de la rosa és traçada un sol cop quan el valor de θ varia de 0 a 2π. Quan k és senar, això passa a l'interval entre 0 i π. (De forma més general, això pasa en qualsevol interval de longitud 2π per a k parell, i π per a k senar.)

Si k és un nombre racional, llavors la corba és tancada i té longitud finita. Si k és un nombre irracional, llavors no és tancada i té longitud infinita. És més, en aquest últim cas, la gràfica de la rosa esdevé un conjunt dens (és a dir, passa arbitràriament a prop de qualsevol punt del disc de radi unitat).

Donat que

\sin(k \theta) = \cos\left( k \theta - \frac{\pi}{2} \right) = \cos\left( k \left( \theta-\frac{\pi}{2k} \right) \right)

Per a to \theta, les curves donades per les equacions polars

\,r=\sin(k\theta) i \,r = \cos(k\theta)

són idèntiques tret d'una rotació de π/2k radians.

El nom de les roses els el va donar el matemàtic italià Guido Grandi entre l'any 1723 i el 1728.[1]

Àrea[modifica | modifica el codi]

Una rosa que té equació polar de la forma

r=a \cos (k\theta)\,

on k és un enter positiu, té una àrea de


 \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}(a\cos (k\theta))^2\,d\theta = \frac {a^2}{2} \left(\pi + \frac{\sin(4k\pi)}{4k}\right) = \frac{\pi a^2}{2}

si k és parell, i


 \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}(a\cos (k\theta))^2\,d\theta = \frac {a^2}{2} \left(\frac{\pi}{2} + \frac{\sin(2k\pi)}{4k}\right) = \frac{\pi a^2}{4}

si k és senar.

El mateix s'aplica a les roses amb equacions polars de la forma

r=a \sin (k\theta)\,

Donat que la seva gràfica no és res més que una rotació de les roses definides fent servir el cosinus.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Referències[modifica | modifica el codi]

  1. O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. «Rhodonea» (en anglès). MacTutor History of Mathematics archive.

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Rosa (matemàtiques) Modifica l'enllaç a Wikidata