Rosa (matemàtiques)

Rosa de k = 7 pètals.

Rosa de 8 pètals (k=4).

Roses definides per $r=\sin k \theta$, per a diversos valors de k=n/d.

En matemàtiques, una rosa o corba rhodonea és una sinusoide dibuixada en coordenades polars. Aquestes corbes es poden expressar amb una equació polar de la forma

$\!\,r=\cos(k\theta).$

Si k és un enter, la corba serà una rosa de

• 2k pètals si k és parell, i
• k pètals si k és senar.

Quan k és parell, la gràfica complerta de la rosa és traçada un sol cop quan el valor de θ varia de 0 a 2π. Quan k és senar, això passa a l'interval entre 0 i π. (De forma més general, això pasa en qualsevol interval de longitud 2π per a k parell, i π per a k senar.)

Si k és un nombre racional, llavors la corba és tancada i té longitud finita. Si k és un nombre irracional, llavors no és tancada i té longitud infinita. És més, en aquest últim cas, la gràfica de la rosa esdevé un conjunt dens (és a dir, passa arbitràriament aprop de qualsevol punt del disc de radi unitat).

Donat que

$\sin(k \theta) = \cos\left( k \theta - \frac{\pi}{2} \right) = \cos\left( k \left( \theta-\frac{\pi}{2k} \right) \right)$

Per a to $\theta$, les curves donades per les equacions polars

$\,r=\sin(k\theta)$ i $\,r = \cos(k\theta)$

són idèntiques tret d'una rotació de π/2k radians.

El nom de les roses els el va donar el matemàtic italià Guido Grandi entre l'any 1723 i el 1728.

Àrea

Una rosa que té equació polar de la forma

$r=a \cos (k\theta)\,$

on k és un enter positiu, té un àrea de

$\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}(a\cos (k\theta))^2\,d\theta = \frac {a^2}{2} \left(\pi + \frac{\sin(4k\pi)}{4k}\right) = \frac{\pi a^2}{2}$

si k és parell, i

$\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}(a\cos (k\theta))^2\,d\theta = \frac {a^2}{2} \left(\frac{\pi}{2} + \frac{\sin(2k\pi)}{4k}\right) = \frac{\pi a^2}{4}$

si k és senar.

El mateix s'aplica a les roses amb equacions polars de la forma

$r=a \sin (k\theta)\,$

Donat que la seva gràfica no és res més que una rotació de les roses definides fent servir el cosinus.

Vegeu també

• Corba de Lissajous
• Quadrifoli – una rosa amb k=2.

Enllaços externs

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Rosa (matemàtiques)

• Rosa a Mathworld
• Applet per a crear roses amb paràmetre k
• Diccionari visual de corbes planes especials Xah Lee