Sèrie (matemàtiques)

En matemàtiques, una sèrie és la suma dels termes d'una successió, una suma amb un nombre infinit de termes o sumands. Normalment es representa una sèrie amb termes $a_n$ com $\sum_{i=1}^N a_i$ on N és l'índex final de la sèrie. Les sèries infinites són aquelles on i agafa el valor d'absolutament tots els nombres naturals, és a dir, $i = 1,2,3,\ldots$.

Les sèries convergeixen o divergeixen. En càlcul, una sèrie divergeix si $\lim_{n\to \infty} \, \, \sum_{i=1}^n a_i$ no existeix o si tendeix a infinit; convergeix si $\lim_{n\to \infty} \, \, \sum_{i=1}^n a_i = L$ per algun $L \in \mathbb{R}$.

Serveixi com a exemple la sèrie següent, que anomenarem S:

$S=1-1+1-1+1-1+1...$

Aquesta sèrie es pot escriure de manera compacta amb la notació de sumatoris com segueix: $S=\sum_{n=0}^\infty\ (-1)^n$

Notem que les regles de la suma habitual (associativitat, commutativitat i distributivitat) poden patir alguns canvis a l'hora d'aplicar-les a sumes infinites. Continuant amb l'exemple anterior, podem veure com agrupant els termes de diverses maneres i obtenim resultats diferents. Una possibilitat seria aquesta:

$S=(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+...=0+0+0+0+...=0$

i una altra podria ser aquesta:

$S=1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+...=1+0+0+0+...=1$

Amb aquest exemple tan senzill podem veure que s'ha de tenir molta cura quan es treballa amb sèries numèriques i que es possible que calgui definir de nou conceptes bàsics per evitar caure en contradiccions com la que s'acaba de mostrar.

Vegeu també

• 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Sèrie (matemàtiques)