Sèrie (matemàtiques)

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, una sèrie és la suma dels termes d'una successió, una suma amb un nombre infinit de termes o sumands. Normalment es representa una sèrie amb termes a_n com \sum_{i=1}^N a_i on N és l'índex final de la sèrie. Les sèries infinites són aquelles on i agafa el valor d'absolutament tots els nombres naturals, és a dir, i = 1,2,3,\ldots.

Les sèries convergeixen o divergeixen. En càlcul, una sèrie divergeix si \lim_{n\to \infty} \, \, \sum_{i=1}^n a_i no existeix o si tendeix a infinit; convergeix si \lim_{n\to \infty} \, \, \sum_{i=1}^n a_i = L per algun L \in \mathbb{R}.

Serveixi com a exemple la sèrie següent, que anomenarem S:

S=1-1+1-1+1-1+1...

Aquesta sèrie es pot escriure de manera compacta amb la notació de sumatoris com segueix: S=\sum_{n=0}^\infty\ (-1)^n

Notem que les regles de la suma habitual (associativitat, commutativitat i distributivitat) poden patir alguns canvis a l'hora d'aplicar-les a sumes infinites. Continuant amb l'exemple anterior, podem veure com agrupant els termes de diverses maneres i obtenim resultats diferents. Una possibilitat seria aquesta:

S=(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+...=0+0+0+0+...=0

i una altra podria ser aquesta:

S=1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+...=1+0+0+0+...=1

Amb aquest exemple tan senzill podem veure que s'ha de tenir molta cura quan es treballa amb sèries numèriques i que és possible que calgui definir de nou conceptes bàsics per evitar caure en contradiccions com la que s'acaba de mostrar.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Sèrie (matemàtiques) Modifica l'enllaç a Wikidata