Sèrie alternada

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, un sèrie que alterna és una sèrie infinita de la forma

\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\,a_n,

amb an ≥ 0 (o an ≤ 0) per a tot n. Una suma finita d'aquesta classe és un suma alternada. Una sèrie alternada convergeix si el terme an convergeix a 0 monòtonament. L'error E introduït per aproximar una sèrie alternada amb la seva suma parcial de n termes ve donat per |E|<|an+1|.

Un condició suficient perquè la sèrie convergeixi és que convergeixi absolutament. Però això és sovint una condició massa dura de fet: no és una condició necessària. Per exemple, la sèrie harmònica

\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n},\!

divergeix, mentre la versió que alternada

\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n},\!

convergeix al logaritme natural de 2. Un test més ampli per a la convergència d'una sèrie alternada és el test de Leibniz: si la successió a_n és monòtona decreixent i tendeix a zero, llavors la sèrie

\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\,a_n

convergeix.

La suma parcial

s_n = \sum_{k=0}^n (-1)^k a_k

es pot fer servir per aproximar la suma d'una sèrie alternada convergent.

Si a_n és monòtona decreixent i tendeix a zero, llavors l'error

en aquesta aproximació és menor que a_{n+1}. Aquesta última observació és la base del test de Leibniz. En efecte, si la successió a_n tendeix a zero i és monòtona decreixent (com a mínim des d'un cert punt), es pot fàcilment demostrar que la successió de sumes parcials és una Successió de Cauchy. Assumint m<n


\begin{array}{rcl}
\displaystyle\left|\sum_{k=0}^m(-1)^k\,a_k\,-\,\sum_{k=0}^n\,(-1)^k\,a_k\right|&=&\displaystyle\left|\sum_{k=m+1}^n\,(-1)^k\,a_k\right|=a_{m+1}-a_{m+2}+a_{m+3}-a_{m+4}+\cdots+a_n\\ \ \\&=&\displaystyle a_{m+1}-(a_{m+2}-a_{m+3}) - (a_{m+4}-a_{m+5}) -\cdots-a_n<a_{m+1}
\end{array}

(la successió que és monòtona decreixent garanteix que a_{k}-a_{k+1}>0; fixeu-vos que formalment es necessita tenir en compte si n és parell o senar, però això no canvia la idea de la demostració)

Com que a_{m+1}\rightarrow0 quan m\rightarrow\infty, la successió de sumes parcials és Cauchy, i per tant la sèrie és convergent. Com que l'estimació anterior no depèn de n, també demostra que

\left|\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\,a_k\,-\,\sum_{k=0}^m\,(-1)^k\,a_k\right|<a_{m+1}.

Les sèries alternades convergents que no convergeixen absolutament són exemples de sèries condicionalment convergents. En particular, el teorema de sèries de Riemann s'aplica a les seves reordenacions.