Sèrie alternada

En matemàtiques, un sèrie que alterna és una sèrie infinita de la forma

$\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\,a_n,$

amb a_n ≥ 0 (o a_n ≤ 0) per a tot n . Una suma finita d'aquesta classe és un suma alternada. Una sèrie alternada convergeix si el terme a_n convergeix a 0 monòtonament. L'error E introduït per aproximar una sèrie alternada amb la seva suma parcial de n termes ve donat per |E|<|a_n+1|.

Un condició suficient perquè la sèrie convergeixi és que convergeixi absolutament. Però això és sovint una condició massa dura de fet: no és una condició necessària. Per exemple, la sèrie harmònica

$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n},\!$

divergeix, mentre la versió que alternada

$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n},\!$

convergeix al logaritme natural de 2. Un test més ampli per a la convergència d'una sèrie alternada és el test de Leibniz: si la successió $a_n$ és monòtona decreixent i tendeix a zero, llavors la sèrie

$\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\,a_n$

convergeix.

La suma parcial

$s_n = \sum_{k=0}^n (-1)^k a_k$

es pot fer servir per aproximar la suma d'una sèrie alternada convergent.

Si $a_n$ és monòtona decreixent i tendeix a zero, llavors l'error

en aquesta aproximació és menor que $a_{n+1}$. Aquesta última observació és la base del test de Leibniz. En efecte, si la successió $a_n$ tendeix a zero i és monòtona decreixent (com a mínim des d'un cert punt), es pot fàcilment demostrar que la successió de sumes parcials és una Successió de Cauchy. Assumint $m<n$

$\begin{array}{rcl} \displaystyle\left|\sum_{k=0}^m(-1)^k\,a_k\,-\,\sum_{k=0}^n\,(-1)^k\,a_k\right|&=&\displaystyle\left|\sum_{k=m+1}^n\,(-1)^k\,a_k\right|=a_{m+1}-a_{m+2}+a_{m+3}-a_{m+4}+\cdots+a_n\\ \ \\&=&\displaystyle a_{m+1}-(a_{m+2}-a_{m+3}) - (a_{m+4}-a_{m+5}) -\cdots-a_n<a_{m+1} \end{array}$

(la successió que és monòtona decreixent garanteix que $a_{k}-a_{k+1}>0$; fixeu-vos que formalment es necessita tenir en compte si $n$ és parell o senar, però això no canvia la idea de la demostració)

Com que $a_{m+1}\rightarrow0$ quan $m\rightarrow\infty$, la successió de sumes parcials és Cauchy, i per tant la sèrie és convergent. Com que l'estimació anterior no depen de $n$, també demostra que

$\left|\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\,a_k\,-\,\sum_{k=0}^m\,(-1)^k\,a_k\right|<a_{m+1}.$

Les sèries alternades convergents que no convergeixen absolutament són exemples de sèries condicionalment convergents. En particular, el teorema de sèries de Riemann s'aplica a les seves reordenacions.