Sèrie de Bell

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, una sèrie de Bell és una sèrie de potències formal utilitzada per estudiar les propietats de funcions aritmètiques. Les sèries de Bell van ser introduïdes i desenvolupades per Eric Temple Bell.

Donada una funció aritmètica f i un nombre primer p, es defineix la sèrie de potències formal f_p(x), anomenada sèrie de Bell de f mòdul p, com a:

F_p (x) = \sum_{n = 0}^\infty f (p^n) x^n

Es pot demostrar que dues funcions multiplicatives són idèntiques si totes les seves sèries de Bell són iguals: això de vegades s'anomena teorema d'unicitat. Donades les funcions multiplicatives f i g, es té que f = g si i només si:

F_p(x) = g_p(x) per a tots els nombres primers p.

Dues sèries poden ser multiplicades (de vegades anomenat com teorema de multiplicació): per a dos funcions aritmètiques qualssevol f i g, sigui h = f * g la seva convolució de Dirichlet. Llavors, per a cada nombre primer p, es té que:

H_p (x) = f_p (x) g_p (x). \,

Més concretament, això converteix en trivial el fet de trobar la sèrie de Bell d'una inversa de Dirichlet.

Si f és completament multiplicativa, llavors:

F_p (x) = \frac{1}{1-f (p) x}.

Exemples[modifica | modifica el codi]

A continuació es mostren les sèries de Bell de funcions aritmètiques molt conegudes.

Bibliografia[modifica | modifica el codi]