Sèrie de Laurent

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, la sèrie de Laurent d'una funció analítica f(z)\, és la representació d'aquesta funció en sèrie de potències.

La sèrie de Laurent pot ser utilitzada per poder expressar una funció complexa en el cas en què no pot ser aplicada la sèrie de Taylor.

Les sèries de Laurent van ser anomenades així, després de ser publicades per Pierre Alphonse Laurent al 1843, tot i que havien estat descobertes per Karl Weierstrass, que no les va publicar mai.

Sèrie de Laurent[modifica | modifica el codi]

Sigui f(z)\, una funció analítica en un anellR_0<|z-z_0|<R_1\,. \forall z\, d'aquest anell, es complirà que:

f(z)=\sum_{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}\,

on

a_{n}=\frac{1}{2\pi i}\oint_{\gamma }\frac{f(\xi )dz}{(\xi -z_{0})^{n+1}}\,

sent \gamma\, la circumferència\gamma =\left\{ z_{0}+re^{i\theta }|\theta \in \left[ 0,2\pi \right] \right\}\,, amb R_0<r<R_1\,.