Sèrie geomètrica

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
La suma de les àrees dels quadrats porpra és un terç de l'àrea del quadrat gran.

En matemàtiques, una sèrie geomètrica és una sèrie, els termes de la qual estan en progressió geomètrica, per tant el quocient entre dos termes successius és una constant. Per exemple, la sèrie

\frac{1}{2} \,+\, \frac{1}{4} \,+\, \frac{1}{8} \,+\, \frac{1}{16} \,+\, \cdots

És geomètrica, perquè cada terme és igual a la meitat de l'anterior. La suma d'aquesta sèrie és 1, tal com s'il·lustra en el següent dibuix:

Suma d'una sèrie geomètrica

Les sèries geomètriques infinites són l'exemple més senzill de sèries infinites amb suma finita. Això les fa importants en filosofia on subministren una resolució matemàtica a les paradoxes de Zenó. Històricament, les sèries geomètriques varen jugar un paper important en el desenvolupament inicial del càlcul infinitesimal, i continuen sent centrals en l'estudi de la convergència de les sèries. Les sèries geomètriques es fan servir a través de les matemàtiques, i tenen aplicacions importants en física, enginyeria, biologia, economia i finances.

Raó[modifica | modifica el codi]

El termes d'una sèrie geomètrica formen una progressió geomètrica, això significa que el quocient entre dos termes successius és una constant anomenada "raó". La següent taula presenta diverses sèries geomètriques amb diferents raons:

Raó Exemple
10 4 + 40 + 400 + 4000 + 40,000 + ···
1/3 9 + 3 + 1 + 1/3 + 1/9 + ···
1/10 7 + 0.7 + 0.07 + 0.007 + 0.0007 + ···
1 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + ···
–1/2 1 – 1/2 + 1/4 – 1/8 + 1/16 – 1/32 + ···
–1 3 – 3 + 3 – 3 + 3 – ···

El comportament dels termes depèn de la raó r:

Quan r és més gran que 1, els termes de la sèrie esdevenen més i mes grans en valor absolut, tret que siguin tots zero.
Quan r és més petita que 1 (i més gran que -1), els termes de la sèrie, en valor absolut, esdevenen més i més petits, apropant-se a zero en el límit, si la sèrie és infinita.
Quan r és igual a 1, tots els termes de la sèrie són iguals.
Sempre que r és negatiu, el signe dels termes és alternativament positiu i negatiu.

Història[modifica | modifica el codi]

Euclides, en el Llibre IX Proposició 35 expressa la suma d'una sèrie geomètrica finita en termes dels nombres de la sèrie. Això és equivalent a la fórmula moderna:

« Proposició 35. Si tants nombres com es vulgui són continuadament proporcionals, i es treuen del segon i de l'últim nombres iguals al primer, aleshores, tal com l'excés del segon és al primer, de la mateixa manera l'excés de l'últim serà a tots els anteriors a ell. »

Traducció al català de: [1]

Suma[modifica | modifica el codi]

Encara que la sèrie geomètrica sigui infinita, la seva suma és finita sempre que els seus termes tendeixin a zero. La suma es pot calcular aprofitant la autosemblança de la sèrie.

Exemple[modifica | modifica el codi]

Una il·lustració de l'efecte de la autosemblança en la suma s. Eliminar el cercle de més a la dreta, té el mateix efecte que aplicar al dibuix un factor d'escala de 1/3.

Per a sumar la següent sèrie geomètrica:

s \;=\; 1 \,+\, \frac{2}{3} \,+\, \frac{4}{9} \,+\, \frac{8}{27} \,+\, \cdots

La seva raó és 2/3. Si es multipliquen tots els termes per la raó, el primer terme,1, esdevé el segon, 2/3, el segon, 2/3, esdevé el tercer, 4/9, i així:

\frac{2}{3}s \;=\; \frac{2}{3} \,+\, \frac{4}{9} \,+\, \frac{8}{27} \,+\, \frac{16}{81} \,+\, \cdots

Aquesta nova sèrie seria la mateixa que l'original, l'únic que li falta é el primer terme. Per tant restant les dues sèries s'anul·len tots els termes tret del primer:

s \,-\, \frac{2}{3}s \;=\; 1,\;\;\;\;\;\;\;\;\mbox{so }s=3.

Una tècnica similar es pot fer servir per avaluar qualsevol expressió amb autsemblança.

Fórmula[modifica | modifica el codi]

Sèrie finita[modifica | modifica el codi]

Pel cas de la sèrie finita:

S=a+ar+ar^{2}+\ldots +ar^{k}

Es multipliquen tots els termes per –r i se sumen els dos cantons de la igualtat:

\begin{align}
 & \ \,\ \,S=a+ar+ar^{2}+\ldots +ar^{k} \\ 
 & -rS=\ \ \ -\,ar-ar^{2}-\ldots -ar^{k}-ar^{k+1} \\ 
 & S-rS=a-ar^{k+1} \\ 
\end{align}

A partir d'aquí, traient factor comú i aïllant S queda:

\begin{align}
 & \left( 1-r \right)S=a\left( 1-r^{k+1} \right) \\ 
 & S=\frac{a\left( 1-r^{k+1} \right)}{1-r} \\ 
\end{align}

Cas de sèrie infinita[modifica | modifica el codi]

Pel cas de la sèrie infinita:

a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\ldots

Es defineix la suma S de la sèrie, com el límit, si existeix, de la sèrie finita dels primers k termes, quan k tendeix a infinit:

S=\underset{k\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( a+ar+ar^{2}+\ldots +ar^{k} \right)

Substituint el valor de la suma dels primers k termes per la fórmula que s'ha trobat abans, resulta:

S=\underset{k\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{a\left( 1-r^{k+1} \right)}{1-r}

Si \left| r \right|<1 llavors r^{k+1} tendeix a 0 i 1-r és diferent de zero, per tant el límit convergeix a:

S=\underset{k\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{a\left( 1-r^{k+1} \right)}{1-r}=\frac{a}{1-r}\quad si\ \left| r \right|<1

Representació amb sumatori[modifica | modifica el codi]

Fent servir la notació de sumatori, una sèrie geomètrica de raó r i primer terme a es pot escriure tal com segueix:

\sum_{n=0}^\infty ar^n

És important de començar el sumatori a n = 0, perquè això fa que el primer terme sigui ar^0 = a.

Aplicacions[modifica | modifica el codi]

Transformar decimals periòdics en fraccions[modifica | modifica el codi]

Article principal: Decimal periòdic

Un nombre que s'expressa en com un decimal periòdic es pot entendre com una sèrie geomètrica, la raó de la qual és una potència de 1/10. Per exemple:

0,727272\ldots =\frac{72}{100}+\frac{72}{10.000}+\frac{72}{1.000.000}+\ldots

Com que el mòdul de la raó és sempre més petit que 1, es pot fer servir la fórmula de la suma de la sèrie per transformar l'expressió decimal periòdica en una fracció. En el cas de l'exemple, com que el primer terme és a=\frac{72}{100} i la raó és r=\frac{1}{100} aplicant la fórmula s'obté:

0,727272\ldots =\frac{{72}/{100}\;}{1-{1}/{100}\;}=\frac{{72}/{100}\;}{{99}/{100}\;}=\frac{72}{99}=\frac{8}{11}

Quadratura de la paràbola pel mètode d'Arquimedes[modifica | modifica el codi]

L'àrea tancada entre una paràbola i una línia recta és la unió d'infinits triangles.

Arquimedes va fer servir una sèrie geomètrica per a calcular l'àrea inclosa entre una paràbola i una línia recta. El seu mètode es basa en seccionar l'àrea en un nombre infinit de triangles tal com es mostra a la figura de la dreta.

El teorema d'Arquimedes diu que l'àrea sota la paràbola és 4/3 de l'àrea del triangle blau.

Per demostrar-ho, primer va fer servir raonaments geomètrics per demostrar que l'àrea de cada triangle verd és 1/8 de l'àrea del triangle blau, l'àrea de cada triangle groc és 1/8 de l'àrea d'un triangle verd, i així successivament.

Suposant que el triangle blau té una àrea d'1, l'àrea total és un sumatori infinit:

1 \,+\, 2\left(\frac{1}{8}\right) \,+\, 4\left(\frac{1}{8}\right)^2 \,+\, 8\left(\frac{1}{8}\right)^3 \,+\, \cdots.

El primer terme representa l'àrea del triangle blau; el segon terme, l'àrea dels dos triangles verds; el tercer terme l'àrea dels quatre triangles grocs, i així successivament. Simplificant les fraccions, s'obté

1 \,+\, \frac{1}{4} \,+\, \frac{1}{16} \,+\, \frac{1}{64} \,+\, \cdots.

que és una sèrie geomètrica de raó 1/4. La seva suma és

\frac{1}{1-r}\;=\;\frac{1}{1-\frac{1}{4}}\;=\;\frac{4}{3}.    Q.E.D.

Aquest càlcul fa servir el mètode d'exhaustió, una versió antiga de la integració. En càlcul modern, el mateix resultat es pot obtenir fent servir una integral definida.

Geometria fractal[modifica | modifica el codi]

L'interior del floc de neu de Koch és la unió d'una quantitat infinita de triangles.

En l'estudi dels fractals, sovint sorgeixen sèries geomètriques a l'hora de calcular el perímetre, l'àrea, o el volum d'una figura amb autosemblança.

Per exemple, l'àrea dins del floc de neu de Koch es pot descriure com la unió d'una quantitat infinita de triangles equilàters (vegeu la figura). Cada costat del triangle verd té exactament 1/3 de la mida d'un costat del triangle gros blau, i per tant té exactament 1/9 de la seva àrea. De forma similar, cada triangle groc té 1/9 de l'àrea del triangle verd, i així. Agafant el triangle blau co a unitat d'àrea, l'àrea total del floc de neu és

1 \,+\, 3\left(\frac{1}{9}\right) \,+\, 12\left(\frac{1}{9}\right)^2 \,+\, 48\left(\frac{1}{9}\right)^3 \,+\, \cdots.

El primer terme d'aquesta sèrie representa l'àrea del triangle blau, el segon terme representa l'àrea total dels tres triangles verds, el tercer terme l'àrea total dels dotze triangles grocs, i així. Excloent l'1 inicial, aquesta sèrie és geomètrica de raó r = 4/9. El primer terme de la sèrie geomètrica és a = 3(1/9) = 1/3, per tant la suma és

1\,+\,\frac{a}{1-r}\;=\;1\,+\,\frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{4}{9}}\;=\;\frac{8}{5}.

Per tant el floc de neu de Koch té una àrea que és 8/5 de l'àrea del triangle base.

Paradoxes de Zenó[modifica | modifica el codi]

Article principal: paradoxes de Zenó

Les paradoxes de Zenó es poden expressar en termes de sèries geomètriques.

Per exemple la paradoxa d'Aquil·les i la tortuga:

Al començament la tortuga té 20 metres d'avantatge. Aquiles corre a 20 m/s (el bons atletes poden córrer a 10 m/s i alguns campions una mica més, però com que Aquiles és un heroi, s'ha de suposar que corre més que els millors mortals) i la tortuga a 0,01 m/s. Al cap de 1 s Aquiles ha arribat al punt on estava la tortuga al començament però com que la tortuga ha corregut 0,01m Aquiles no la ha agafat, al cap de 0,01/20 segons Aquiles haurà arribat a aquest segon punt de la trajectòria de la tortuga, però la tortuga també haurà avançat un xic i Aquiles tampoc la haurà atrapat, i així infinits punts.

Representant això com una sèrie geomètrica i sumant, resulta que els infinits punts de la trajectòria de la tortuga entre el punt inicial i el punt on Aquiles l'atrapa, estan separats una distància finita, Auquiles la recorre en un temps finit i atrapa la tortuga.

Economia[modifica | modifica el codi]

En economia, les sèrie geomètriques tenen moltes aplicacions, per exemple les sèries geomètriques infinites es fan servir per calcular la quantitat de diners creats pel sistema bancari en funció del coeficient de caixa, o les sèries geomètriques finites es fan servir per a càlculs d'interès compost.

Creació de diners en el sistema bancari[modifica | modifica el codi]

Per exemple, si el Banc Central Europeu posa en circulació una quantitat de diners a_{0} i obliga als bancs a mantenir un coeficient de caixa del 0,025 (els bancs han de conservar líquid el 2,5% dels dipòsits i poden fer préstecs amb l'altre 97,2%) el resultat final serà que: els a_{0} euros inicials, es dipositaran d'una forma o altra, en un banc o altre en el sistema bancari, els diferents bancs mantindran en caixa el 2,5% d'aquest diners i en podran destinar a fer préstecs el 97,5%, però al seu torn aquest 97,5 d'una forma o altra, es dipositarà en un banc o altre del sistema bancari, per tant els bancs, entre tots, tindran en dipòsit una quantitat addicional que, un cop retingut en caixa el 2,5% podran tornar a fer servir per fer més préstecs i així successivament. Per tant la quantitat de diners efectivament injectada en el sistema serà:

\begin{align}
 & S=a_{0}+(1-0,025)a_{0}+\left( 1-0,025 \right)^{2}a_{0}+\ldots \\ 
 & s=\frac{a_{0}}{1-\left( 1-0,025 \right)}=\frac{a_{0}}{0,025}=40a_{0} \\ 
\end{align}


Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Referències[modifica | modifica el codi]

  • James Stewart (2002). Calculus, 5th ed., Brooks Cole. ISBN 978-0534393397
  • Larson, Hostetler, and Edwards (2005). Calculus with Analytic Geometry, 8th ed., Houghton Mifflin Company. ISBN 978-0618502981
  • Roger B. Nelson (1997). Proofs without Words: Exercises in Visual Thinking, The Mathematical Association of America. ISBN 978-0883857007
  • Andrews, George E.. «The geometric series in calculus». The American Mathematical Monthly, vol. 105, 1, 1998, pàg. 36–40.

Història i filosofia[modifica | modifica el codi]

Economia[modifica | modifica el codi]

  • Carl P. Simon and Lawrence Blume (1994). Mathematics for Economists, W. W. Norton & Company. ISBN 978-0393957334
  • Mike Rosser (2003). Basic Mathematics for Economists, 2nd ed., Routledge. ISBN 978-0415267847

Biologia[modifica | modifica el codi]

  • Edward Batschelet (1992). Introduction to Mathematics for Life Scientists, 3rd ed., Springer. ISBN 978-0387096483
  • Richard F. Burton (1998). Biology by Numbers: An Encouragement to Quantitative Thinking, Cambridge University Press. ISBN 978-0521576987

Informàtica[modifica | modifica el codi]

  • John Rast Hubbard (2000). Schaum's Outline of Theory and Problems of Data Structures With Java, McGraw-Hill. ISBN 978-0071378703

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]