Sèrie harmònica

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Hudební sèrie harmònica

En matemàtiques, la sèrie harmònica és la sèrie infinita:

\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} = 
1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} +
\cdots

S'anomena harmònica perquè les longituds d'ona dels harmònics d'una corda vibrant són proporcionals a 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... . És una sèrie divergent (tot i que divergeix molt lentament). La primera demostració de la seva divergència fou presentada per Nicole d'Oresme al segle XIV, i es basa en notar que el 3r. i 4t. termes, 1/3 + 1/4, sumen més que 1/2, que el 5è., 6è., 7è. i 8è. termes, 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8, també sumen més que 1/2, etc.; és a dir, que prenent 2, 4, 8, 16, ... termes sempre es poden formar grups de valor superior a 1/2; per tant, la sèrie divergeix. Una altra demostració, molt relacionada amb la d'Oresme, és notar que la sèrie harmònica és superior, terme a terme, a la sèrie

\sum_{k=1}^\infty 2^{-\lceil \log_2 k \rceil} \! = 
1 + \left[\frac{1}{2}\right] + \left[\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\right] 
+ \left[\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\right] + \frac{1}{16}\cdots
 = \quad\quad 1 +\ \frac{1}{2}\ +\ \quad\frac{1}{2} \ \quad+ \ \qquad\quad\frac{1}{2}\qquad\ \quad \ + \ \quad\ \cdots

La sèrie harmònica alterna definida com:

\sum_{k = 1}^\infty \frac{(-1)^{k + 1}}{k} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots = \ln 2

és convergent a ln 2, de fet conseqüència de la sèrie de Taylor del logaritme natural.

La sèrie harmònica generalitzada (o sèrie p) és qualsevol sèrie de la forma:

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}

essent p un nombre real positiu. La sèrie és convergent si p > 1 i divergent en els altres casos. Quan p = 1 la sèrie és precisament la sèrie harmònica. Quan p > 1 la suma de la sèrie és ζ(p), és a dir, la funció zeta de Riemann avaluada a p.


A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Sèrie harmònica Modifica l'enllaç a Wikidata