Sèrie hipergeomètrica

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, una sèrie hipergeomètrica és una sèrie de potències on el k-èssim coeficient de la sèrie és una funció racional de k. Si la sèrie convergeix, defineix una funció hipergeomètrica, el seu domini és qualsevol subconjunt dels nombres complexos. Generalment, aquestes funcions hipergeomètriques es representen mitjançant la notació pFq(a1,a2,... ;b1, b2,...;z). El primer cas estudiat correspon a la sèrie hipergeomètrica ordinària o gaussiana 2F1(a,b;c;z), que va ser estudiada sistemàticament per Carl Friedrich Gauss, tot i que anteriorment, Leonhard Euler ja havia estudiat aquest tipus d'estructura.(Gauss (1813)

Definició[modifica | modifica el codi]

De la forma més general, es formula de la següent manera:

\,_pF_q(a_1,\ldots,a_p;b_1,\ldots,b_q;z)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(a_1)_n(a_2)_n\ldots(a_p)_n}{(b_1)_n(b_2)_n\ldots(b_q)_n}\,\frac{z^n}{n!}\,

on: (a)_n=a(a+1)(a+2)...(a+n-1)\, es el símbol de Pochhammer.

Convergència[modifica | modifica el codi]

Hi ha certs valors de aj y bk per a els quals el numerador o el denominador dels coeficients es 0.

  • Si qualsevol aj es un sencer negatiu (0, −1, −2, etc.) llavors la sèrie tan sols té un nombre finit de termini, i es, de fet un polinomi de grau -aj.
  • Si qualsevol bk es un sencer negatiu (exceptuant el cas previ amb -bk < aj) llavors els denominadors es fan 0 i la sèrie es indefinida.

Exceptuant aquests casos, el Criteri de d'Alembert pot ser aplicat i determina el radi de convergència.

  • Si p=q+1 llavors el ratio dels coeficients s' aproxima a 1. Això implica que el radi de convergència es 1.
  • Si pq llavors el ratio dels coeficients s' aproxima a 0. Aixó implica que el radi de convergència es infinit.
  • Si p>q+1 llavors el ratio dels coeficients tendeix a infinit. Aixó implica que el radi de convergència és 0 i la sèrie no defineix una funció analítica.

La qüestió de convergència per a p=q+1 quan z està en el cercle unitari és més difícil. Está demostrat que le sèrie convergeix absolutament en z=1 si

\Re\left(\sum b_k - \sum a_j\right)>0.

Aplicacions[modifica | modifica el codi]

Les funcions hipergeomètriques formen una vasta família de funcions que inclouen entre d’altres a les funcions de Bessel, la funció Gamma incompleta, la funció error, integrals el·líptiques i polinomis ortogonals. El que fa que això sigui així, és degut al fet que les funcions hipergeomètriques són solucions d’una classe molt general d’equacions diferencials ordinàries de segon ordre: les equacions diferencials hipergeomètriques.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Referències[modifica | modifica el codi]


Bibliografia[modifica | modifica el codi]

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]