Políedre de Johnson

De Viquipèdia
(S'ha redirigit des de: Sòlid de Jhonson)
Dreceres ràpides: navegació, cerca
La girobicúpula octogonal allargada (J37), és un sòlid de Johnson.
Aquest cub compost de 24 cares quadrades no és un sòlid de Johnson perquè no és estrictament convex (té angles diedres iguals a zero.
Aquest exemple a 24 triangles no és un sòlid de Johnson perquè és còncau.

En geometria, un sòlid de Johnson és un políedre estrictament convex tal que totes les seves cares són polígons regulars però que no és ni un sòlid platònic, ni un sòlid arquimedià, ni un prisma ni un antiprisma. No cal que cada cara sigui un polígon idèntic, o que els mateixos polígons es trobin al voltant de cada vèrtex. Un exemple de sòlid de Johnson és la piràmide de base quadrada amb costats triangulars equilàters (J1); té una cara quadrada i quatre cares triangulars.

Com que és un sòlid estrictament convex pel capbaix tres cares s'han de trobar a cada vèrtex i la suma dels seus angles ha de ser menor que 360 graus. Ja que tot polígon regular té angles superiors o iguals a 60 graus (cas del triangle equilàter es 60 graus i tots els altres és més), se'n dedueix que cinc cares el màxim que es poden trobar en un vèrtex qualsevol. La piràmide pentagonal (J2) és un exemple que té un vèrtex de grau 5.

Encara que no existeixi restricció evident per que un polígon regular qualsevol pugui ser una cara d'un sòlid de Johnson, es trova que les cares dels sòlids de Johnson tenen sempre 3, 4, 5, 6, 8 o 10 costats. És a dir no hi ha cap sòlid de Jonson que tingui una cara que sigui un polígon ni de 7 ni de 9 ni de més de 10 costats.

El 1966, Norman Johnson va publicar una llista que incloïa els 92 sòlids, i els va donar els seus noms i els seus nombres. No va demostrar que no n'existia més que 92, però va conjecturar que no n'hi havia d'altres. Victor Zalgaller el 1969 va demostrat que la llista de Johnson era completa. S'utilitzen els noms i l'ordre donats per Johnson, i se'ls anota Jxx on xx és el nombre donat per Johnson.

Dels sòlids de Johnson, la girobicúpula quadrada allargada (J37) és l'únic que és de vèrtexs uniformes: incideixen quatre cares a cada vèrtex, i el seu arranjament és sempre el mateix: tres quadrats i un triangle.

Taula de continguts

Noms [modifica]

Els noms es llisten davall i són força descriptius. Molts d'aquests sòlids es poden construir afegint piràmides, cúpules i rotondes sobre cares de sòlids platònics, sòlids arquimedians, de prismes o d'antiprismes.

  • El prefix Bi- vol dir que s'ajunten base sobre base dues còpies del sòlid en qüestió. Per a les cúpules i les rotondes, es poden ajuntar de forma que les cares es trobin (orto-) o no (giro-). En aquesta nomenclatura, un octàedre s'anomenaria una bipiràmide quadrada, un cuboctaèdre s'anomenaria una girobicúpula hexagonal i un icosidodécaèdre una girobirotonda decagonal.
  • Allargat vol dir que s'ha ajuntat un prisma a la base del sòlid en qüestió o entre les bases dels sòlids en qüestió. Un rombicuboctàedre s'anomenaria una ortobicúpula octogonal allargada.
  • Giroallargat significa que s'ha ajuntat un antiprisma a la base del sòlid en qüestió o entre les bases dels sòlids en qüestió. Un icosàedre s'anomenaria una bipiràmide pentagonal giroallargada.
  • Augmentat significa que s'ha ajuntat una piràmide o una cúpula a una cara del sòlid en qüestió.
  • Disminuït significa que s'ha tret una piràmide o una cúpula del sòlid en qüestió.
  • Gir significa que una cúpula sobre el sòlid en qüestió ha sofert una rotació tal que les diferents arestes coincideixen, com per a la diferència entre orto i giro bicúpules.

Les tres últimes operacions - augment, disminució i gir - es poden executar més d'una vegada sobre un sòlid prou gran. S'afegeix bi- al nom de l'operació per indicar que s'ha executat dues vegades. (Un sòlid bigirat té dues de les seves cúpules que han experimentat una rotació). S'afegeix tri- per indicar que s'ha executat tres vegades. (Un sòlid tridisminuit té tres de les seves piràmides o cúpules eliminades).

A vegades, bi- tot sol no és prou precís. S'ha de distingir entre un sòlid que té dues cares paral·leles alterades i un que té dues cares obliqües alterades. Quan les dues cares alterades són paral·leles, s'afegeix para- al nom de l'operació. (Un sòlid parabiaugmentat té dues cares paral·leles augmentades). Quan no ho són, s'afegeix meta- al nom de l'operació. (Un sòlid metabiaugmentat té dues cares obliqües augmentades).

Llista i noms dels políedres de Johnson [modifica]

A les taules es fan servir les següents abreviatures:

V : nombre de vèrtexs,
A : nombre d'arestes,
C : nombre total de cares, on:
C3 triangles,
C4 quadrats,
C5 Pentàgons,
C6 hexàgons,
C8 octògons,
C10 decàgons.

Prismatoides i rotondes [modifica]

Els poden classificar en:

Jn Nom Desenvolupament Imatge V A C C3 C4 C5 C6 C8 C10 Simetria
1 Piràmide quadrada Desenvolupament de la piràmide quadrada Piràmide quadrada 5 8 5 4 1 C4v
2 Piràmide pentagonal Desenvolupament de la piràmide pentagonal Piràmide pentagonal 6 10 6 5 1 C5v
3 Cúpula triangular Desenvolupament de la cúpula triangular Cúpula triangular 9 15 8 4 3 1 C3v
4 Cúpula quadrada Johnson solid 4 net.png Square cupola.png 12 20 10 4 5 1 C4v
5 Cúpula pentagonal Johnson solid 5 net.png Pentagonal cupola.png 15 25 12 5 5 1 1 C5v
6 Rotonda pentagonal Johnson solid 6 net.png Pentagonal rotunda.png 20 35 17 10 6 1 C5v

Piràmides modificades i bipiràmides [modifica]

Es poden classificar en:

Jn Nom Desenvolupament Imatge V A C C3 C4 C5 C6 C8 C10 Simetria
7 Piràmide triangular allargada Johnson solid 7 net.png Elongated triangular pyramid.png 7 12 7 4 3 C3v
8 Piràmide quadrada allargada
o (cub augmentat)
o (prisma quadrat augmentat)		 Johnson solid 8 net.png Elongated square pyramid.png 9 16 9 4 5 C4v
9 Piràmide pentagonal allargada Johnson solid 9 net.png Elongated pentagonal pyramid.png 11 20 11 5 5 1 C5v
10 Piràmide quadrada giroallargada Johnson solid 10 net.png Gyroelongated square pyramid.png 9 20 13 12 1 C4v
11 Piràmide pentagonal giroallargada
o (icosàedre disminuït)		 Johnson solid 11 net.png Gyroelongated pentagonal pyramid.png 11 25 16 15 1 C5v
12 Bipriàmide triangular Johnson solid 12 net.png Triangular dipyramid.png 5 9 6 6 D3h
13 Bipiràmide pentagonal Johnson solid 13 net.png Pentagonal dipyramid.png 7 15 10 10 D5h
14 Bipiràmide triangular allargada Johnson solid 14 net.png Elongated triangular dipyramid.png 8 15 9 6 3 D3h
15 Bipiràmide quadrada allargada
o (biaugmentat cub)
o (biaugmentat prisma quadrat)		 Johnson solid 15 net.png Elongated square dipyramid.png 10 20 12 8 4 D4h
16 Bipiràmide pentagonal allargada Johnson solid 16 net.png Elongated pentagonal dipyramid.png 12 25 15 10 5 D5h
17 Bipiràmide quadrada giroallargada Johnson solid 17 net.png Gyroelongated square dipyramid.png 10 24 16 16 D4d

Cúpules i rotondes modificades [modifica]

Es poden classificar en:

  • cúpules allargades
  • rotondes allargades
  • birotondes allargades
  • coupolo-rotondes allargades
  • bicúpules allargades
  • cúpules giroallargades
  • rotondes giroallargades
  • bicúpules
  • birotondes
  • coupulo-rotondes
  • bicúpules giroallargades
  • birotondes giroallargades
  • coupolo-rotondes giroallargades
Jn Nom Desenvolupament Imatge V A C C3 C4 C5 C6 C8 C10 Simetria
18 Cúpula triangular allargada Johnson solid 18 net.png Elongated triangular cupola.png 15 27 14 4 9 1 C3v
19 Cúpula quadrada allargada
(rombicudodecàedre disminuït)		 Johnson solid 19 net.png Elongated square cupola.png 20 36 18 4 13 1 C4v
20 Cúpula pentagonal allargada Johnson solid 20 net.png Elongated pentagonal cupola.svg 25 45 22 5 15 1 1 C5v
21 Rotonda pentagonal allargada Johnson solid 21 net.png Elongated pentagonal rotunda.png 30 55 27 10 10 6 1 C5v
22 Cúpula triangular giroallargada Johnson solid 22 net.png Gyroelongated triangular cupola.png 15 33 20 16 3 1 C3v
23 Cúpula quadrada giroallargada Johnson solid 23 net.png Gyroelongated square cupola.png 20 44 26 20 5 1 C4v
24 Cúpula pentagonal giroallargada Johnson solid 24 net.png Gyroelongated pentagonal cupola.png 25 55 32 25 5 1 1 C5v
25 Rotonda pentagonal giroallargada Johnson solid 25 net.png Gyroelongated pentagonal rotunda.png 30 65 37 30 6 1 C5v
26 Girobiprisma triangular Johnson solid 26 net.png Gyrobifastigium.png 8 14 8 4 4 D2d
27 Ortobicúpula triangular
(cubooctàedre girat)		 Johnson solid 27 net.png Triangular orthobicupola.png 12 24 14 8 6 D3h
28 Ortobicúpula quadrada Johnson solid 28 net.png Square orthobicupola.png 16 32 18 8 10 D4h
29 Girobicúpula quadrada Johnson solid 29 net.png Square gyrobicupola.png 16 32 18 8 10 D4d
30 Ortobicúpula pentagonal Johnson solid 30 net.png Pentagonal orthobicupola.png 20 40 22 10 10 2 D5h
31 Girobicúpula pentagonal Johnson solid 31 net.png Pentagonal gyrobicupola.png 20 40 22 10 10 2 D5d
32 Ortocupulorotonda pentagonal Johnson solid 32 net.png Pentagonal orthocupolarotunda.png 25 50 27 15 5 7 C5v
33 Girocupulorotonda pentagonal Johnson solid 33 net.png Pentagonal gyrocupolarotunda.png 25 50 27 15 5 7 C5v
34 Ortobirotonda pentagonal
(icosidodecàedre girat)		 Johnson solid 34 net.png Pentagonal orthobirotunda.png 30 60 32 20 12 D5h
35 Ortobicúpula triangular allargada Johnson solid 35 net.png Elongated triangular orthobicupola.png 18 36 20 8 12 D3h
36 Girobicúpula triangular allargada Johnson solid 36 net.png Elongated triangular gyrobicupola.png 18 36 20 8 12 D3d
37 Girobicúpula quadrada allargada
(rombicudodecàedre girat)		 Johnson solid 37 net.png Elongated square gyrobicupola.png 24 48 26 8 18 D4d
38 Ortobicúpula pentagonal allargada Johnson solid 38 net.png Elongated pentagonal orthobicupola.png 30 60 32 10 20 2 D5h
39 Girobicúplula pentagonal allargada Johnson solid 39 net.png Elongated pentagonal gyrobicupola.png 30 60 32 10 20 2 D5d
40 Ortocúpulorotonda pentagonal allargada Johnson solid 40 net.png Elongated pentagonal orthocupolarotunda.png 35 70 37 15 15 7 C5v
41 Girocúpulorotonda pentagonal allargada Johnson solid 41 net.png Elongated pentagonal gyrocupolarotunda.png 35 70 37 15 15 7 C5v
42 Ortobirotonda pentagonal allargada Johnson solid 42 net.png Elongated pentagonal orthobirotunda.png 40 80 42 20 10 12 D5h
43 Girobirotonda pentagonal allargada Johnson solid 43 net.png Elongated pentagonal gyrobirotunda.png 40 80 42 20 10 12 D5d
44 Bicúpula triangular giroallargada
(2 formes quirals)		 Johnson solid 44 net.png Gyroelongated triangular bicupola.png 18 42 26 20 6 D3
45 Bicúpula quadrada giroallargada
(2 formes quirals)		 Johnson solid 45 net.png Gyroelongated square bicupola.png 24 56 34 24 10 D4
46 Bicúpula pentagonal giroallargada
(2 formes quirals)		 Johnson solid 46 net.png Gyroelongated pentagonal bicupola.png 30 70 42 30 10 2 D5
47 Cúpulorotonda pentagonal giroallargada
(2 formes quirals)		 Johnson solid 47 net.png Gyroelongated pentagonal cupolarotunda.png 35 80 47 35 5 7 C5
48 Birotonda pentagonal giroallargada
(2 formes quirals)		 Johnson solid 48 net.png Gyroelongated pentagonal birotunda.png 40 90 52 40 12 D5

Prismes augmentats [modifica]

Jn Nom Desenvolupament Imatge V A C C3 C4 C5 C6 C8 C10 Symmetry
49 Prisma triangular augmentat Johnson solid 49 net.png Augmented triangular prism.png 7 13 8 6 2 C2v
50 Prisma triangular biaugmentat Johnson solid 50 net.png Biaugmented triangular prism.png 8 17 11 10 1 C2v
51 Prisma triangular triaugmentat Johnson solid 51 net.png Triaugmented triangular prism.png 9 21 14 14 D3h
52 Prisma pentagonal augmentat Johnson solid 52 net.png Augmented pentagonal prism.png 11 19 10 4 4 2 C2v
53 Prisma pentagonal biaugmantat Johnson solid 53 net.png Biaugmented pentagonal prism.png 12 23 13 8 3 2 C2v
54 Prisma hexagonal augmentat Johnson solid 54 net.png Augmented hexagonal prism.png 13 22 11 4 5 2 C2v
55 Prisma hexagonal parabiaugmentat Johnson solid 55 net.png Parabiaugmented hexagonal prism.png 14 26 14 8 4 2 D2h
56 Prisma hexagonal metabiaugmantat Johnson solid 56 net.png Metabiaugmented hexagonal prism.png 14 26 14 8 4 2 C2v
57 Prisma hexagonal triaugmentat Johnson solid 57 net.png Triaugmented hexagonal prism.png 15 30 17 12 3 2 D3h

Sòlids platònics modificats [modifica]

  • Dodecàedres augmentats
  • Icosàedres disminuïts
Jn Nom Desenvolupament Imatge V A C C3 C4 C5 C6 C8 C10 Simetria
58 Dodecàedre augmentat Johnson solid 58 net.png Augmented dodecahedron.png 21 35 16 5 11 C5v
59 Dodecàedre parabiaugmentat Johnson solid 59 net.png Parabiaugmented dodecahedron.png 22 40 20 10 10 D5d
60 Dodecàedre metabiaugmentat Johnson solid 60 net.png Metabiaugmented dodecahedron.png 22 40 20 10 10 C2v
61 Dodecàedre triaugmentat Johnson solid 61 net.png Triaugmented dodecahedron.png 23 45 24 15 9 C3v
62 Icosàedre metabidismminuït Johnson solid 62 net.png Metabidiminished icosahedron.png 10 20 12 10 2 C2v
63 Icosàedre tridisminuït Johnson solid 63 net.png Tridiminished icosahedron.png 9 15 8 5 3 C3v
64 Icosàedre tridisminuït augmentat Johnson solid 64 net.png Augmented tridiminished icosahedron.png 10 18 10 7 3 C3v

Sòlids arquimedians modificats [modifica]

S'obtenen a partir de:

Jn Nom Desenvolupament Imatge V A C C3 C4 C5 C6 C8 C10 Simetria
65 Tetràedre truncat augmentat Johnson solid 65 net.png Augmented truncated tetrahedron.png 15 27 14 8 3 3 C3v
66 Cub truncat augmentat Johnson solid 66 net.png Augmented truncated cube.png 28 48 22 12 5 5 C4v
67 Cub truncat biaugmentat Johnson solid 67 net.png Biaugmented truncated cube.png 32 60 30 16 10 4 D4h
68 Dodecàedre truncat augmentat Johnson solid 68 net.png Augmented truncated dodecahedron.png 65 105 42 25 5 1 11 C5v
69 Dodecàedre truncat parabiaugmentat Johnson solid 69 net.png Parabiaugmented truncated dodecahedron.png 70 120 52 30 10 2 10 D5d
70 Dodecàedre truncat metabiaugmentat Johnson solid 70 net.png Metabiaugmented truncated dodecahedron.png 70 120 52 30 10 2 10 C2v
71 Dodecàedre truncat triaugmentat Johnson solid 71 net.png Triaugmented truncated dodecahedron.png 75 135 62 35 15 3 9 C3v
72 Romboicosidodecàedre girat Johnson solid 72 net.png Gyrate rhombicosidodecahedron.png 60 120 62 20 30 12 C5v
73 Romboicosidodecàedre parabigirat Johnson solid 73 net.png Parabigyrate rhombicosidodecahedron.png 60 120 62 20 30 12 D5d
74 Romboicosidodecàedre metabigirat Johnson solid 74 net.png Metabigyrate rhombicosidodecahedron.png 60 120 62 20 30 12 C2v
75 Romboicosidodecàedre Trigirat Johnson solid 75 net.png Trigyrate rhombicosidodecahedron.png 60 120 62 20 30 12 C3v
76 Romboicosidodecàedre disminuït Johnson solid 76 net.png Diminished rhombicosidodecahedron.png 55 105 52 15 25 11 1 C5v
77 Romboicosidodecàedre disminuït paragirat Johnson solid 77 net.png Paragyrate diminished rhombicosidodecahedron.png 55 105 52 15 25 11 1 C5v
78 Romboicosidodecàedre disminuït metagirat Johnson solid 78 net.png Metagyrate diminished rhombicosidodecahedron.png 55 105 52 15 25 11 1 Cs
79 Romboicosidodecàedre disminuït bigyiat Johnson solid 79 net.png Bigyrate diminished rhombicosidodecahedron.png 55 105 52 15 25 11 1 Cs
80 Romboicosidodecàedre parabidisminuït Johnson solid 80 net.png Parabidiminished rhombicosidodecahedron.png 50 90 42 10 20 10 2 D5d
81 Romboicosidodecàedre metabidisminuït Johnson solid 81 net.png Metabidiminished rhombicosidodecahedron.png 50 90 42 10 20 10 2 C2v
82 Romboicosidodecàedre bidisminuït girat Johnson solid 82 net.png Gyrate bidiminished rhombicosidodecahedron.png 50 90 42 10 20 10 2 Cs
83 Romboicosidodecàedre tridisminuït Johnson solid 83 net.png Tridiminished rhombicosidodecahedron.png 45 75 32 5 15 9 3 C3v

Diversos [modifica]

Jn Nom Desenvolupament Imatge V A C C3 C4 C5 C6 C8 C10 Simetria
84 Bisfenoide xato
(Dodecàedre siamès)		 Johnson solid 84 net.png Snub disphenoid.png 8 18 12 12 D2d
85 Atiprisma quadrat xato Johnson solid 85 net.png Snub square antiprism.png 16 40 26 24 2 D4d
86 Esfenocorona Johnson solid 86 net.png Sphenocorona.png 10 22 14 12 2 C2v
87 Esfenocorona augmentada Johnson solid 87 net.png Augmented sphenocorona.png 11 26 17 16 1 Cs
88 Esfenomegacorona Johnson solid 88 net.png Sphenomegacorona.png 12 28 18 16 2 C2v
89 Hebesfenomegacorona Johnson solid 89 net.png Hebesphenomegacorona.png 14 33 21 18 3 C2v
90 Biesfenocinturò Johnson solid 90 net.png Disphenocingulum.png 16 38 24 20 4 D2d
91 Birotonda billunar Johnson solid 91 net.png Bilunabirotunda.png 14 26 14 8 2 4 D2h
92 Hebesfenorotonda triangular Johnson solid 92 net.png Triangular hebesphenorotunda.png 18 36 20 13 3 3 1 C3v

Referències [modifica]

  • Norman W. Johnson, "Convex Solids with Regular Faces", Canadian Journal of Mathematics, 18, 1966, pages 169–200. Conté l'enumeració original dels 92 sòlids i la conjectura que no n'hi ha d'altres.
  • Victor A. Zalgaller, "Convex Polyhedra with Regular Faces", 1969 : primera demostració d'aquesta conjectura.
  • Eric W. Weisstein. Johnson Solid : cada sòlid amb el seu desenvolupament

Enllaços externs [modifica]

Obtingut de «http://ca.wikipedia.org/w/index.php?title=Políedre_de_Johnson&oldid=11336491»