σ-àlgebra

En matemàtiques, una σ-àlgebra (dita sigma-àlgebra) o tribu sobre un conjunt Ω és una col·lecció no buida Σ de subconjunts de Ω que és tancada sota operacions numerables d'unió, intersecció i complementació de conjunts. Una σ-àlgebra és de fet una àlgebra booleana, completada a fi d'incloure un infinit numerable d'operacions. El concepte de σ-àlgebra és essencial per a poder definir mesures en Σ, amb les quals es pot assignar un nombre real als diferents subconjunts d'un determinat conjunt. El concepte de mesura, a la vegada, és fonamental en anàlisi i en la teoria moderna de probabilitat.

Definició

Sigui Ω un conjunt no buit, i sigui Σ una col·lecció de subconjunts de Ω. Diem que Σ és una σ-àlgebra si es compleix:

1. El conjunt buit ∅ pertany a Σ.
2. Si un conjunt A pertany a Σ, el seu complementari A^c = Ω \ A també pertany a Σ.
3. La unió d'una col·lecció enumerable de conjunts A₁, A₂,…, de Σ també pertany a Σ.

En altres paraules, una col·lecció Σ de subconjunts de Ω és una σ-àlgebra si:

1. Σ és no buida.
2. Σ és tancada sota complementació
3. Σ és tancada sota unions numerables.

Exemple

Donat el conjunt Ω ={a, b, c, d}, una possible σ-àlgebra seria Σ = { ∅, {a,b}, {c, d}, {a, b, c, d}}:

1. els elements de Σ són diferents subconjunts de Ω, entre els quals hi ha el conjunt buit (condició 1).
2. els complementaris de cadascun dels elements de Σ també pertanyen a Σ (condició 2): ∅^c = Ω ={a, b, c, d} ∈ Σ; {a, b}^c={c, d}∈ Σ, etc.
3. la tercera condició es compleix, ja que totes les possibles unions d'elements de Σ són dins de Σ: el cas menys trivial seria {a,b} ∪ {c,d} = {a,b,c,d}=Ω ∈ Σ.

Propietats

1. El conjunt complet pertany a l'àlgebra, Ω ∈ Σ (a partir dels punts 1 i 2 de la definició).
2. La σ-àlgebra és també tancada sota la intersecció numerable d'elements (a partir de 2 i 3, i fent servir les Lleis de De Morgan): si per tot n∈N, A_n∈ Σ, llavors ⋂_{n∈ N} A_n = (⋃_{n∈ N} A_n)^c ∈ Σ. És a dir, la intersecció d'un nombre finit de conjunts de Σ és un conjunt que pertany a Σ.

Exemples

Sigui Ω un conjunt qualsevol. Les següents són σ-àlgebres en Ω:

1. La col·lecció formada només pel conjunt buit i Ω: Σ={∅,Ω}.
2. La col·lecció formada pel conjunt de les parts de Ω: Σ=℘(Ω)=2^Ω.
3. Si Σ_a, a∈ I, és una família de σ-àlgebres en Ω, la intersecció de tots els Σ_a, és a dir, ⋂_{a∈ I}Σ_a, és també una σ-àlgebra en Ω.

Discussió

Les σ-àlgebres són necessàries per definir mesures sobre un conjunt. Una mesura en Ω és una funció que assigna un nombre real als subconjunts de Ω. Es pot pensar en la mesura com la noció precisa de grandària o volum aplicada a conjunts. D'entrada semblaria possible assignar un volum a cadascun dels subconjunts de Ω; ara bé, l'axioma d'elecció implica que, quan la mesura que considerem és la longitud estàndard per als subconjunts de la recta real (la mesura de Lebesgue), existeixen uns conjunts anomenats conjunts de Vitali pels quals no existeix una mesura. És per aquesta raó que es considera una col·lecció més petita de subconjunts privilegiats de Ω, pels quals la mesura sí que està ben definida; aquests subconjunts constitueixen la σ-algebra.

Els elements de la σ-àlgebra s'anomenen conjunts Σ-mesurables (o simplement conjunts mesurables quan no hi ha ambigüitat sobre la col·lecció Σ de què es parla). Un parell ordenat (Ω,Σ), on Ω és un conjunt i Σ és una σ-àlgebra sobre Ω, s'anomena espai mesurable.

Una funció entre dos espais mesurables s'anomena mesurable si l'antiimatge de cada conjunt mesurable és també un conjunt mesurable; és a dir, si (Ω,Σ) i (Ω^',Σ^') són dos espais mesurables, una funció f: Ω ⟶Ω^' és mesurable si i només si per a tot E∈ Σ^', f^-1(E) ∈ Σ.

σ-àlgebres generades

Si U és una col·lecció qualsevol de subconjunts de Ω, podem obtenir una σ-àlgebra a partir de U, denotada per σ(U) i anomenada la σ-àlgebra generada per U. Es construeix com segueix. D'entrada cal remarcar que existeix una σ-àlgebra en Ω que conté la col·lecció U, l'àlgebra del conjunt de les parts de Ω. Sigui Φ la família de σ-àlgebres en Ω que contenen U (és a dir, una σ-àlgebra Σ en Ω pertany a Φ si i només si U és un subconjunt de Σ). Llavors definim σ(U) com la intersecció de totes les σ-àlgebres de Φ. La σ-àlgebra generada per U, σ(U), és doncs la σ-àlgebra en Ω més petita possible que conté U; els seus elements són tots els conjunts que es poden obtenir a partir d'elements de U fent servir les operacions d'interesecció numerable, reunió numerables, i pas al complementari.

Exemples

1. σ(∅) = {∅, Ω}.
2. Sigui el conjunt Ω = {1,2,3}, la σ-àlgebra generada pel subconjunt {1} és σ({1}) = {∅, {1}, {2,3}, Ω}. En general, si A∈ ℘(Ω), i A no és ni Ω ni ∅, llavors σ(A) = {∅, Ω, A, A^c}.

Un exemple important d'àlgebra generada és l'àlgebra de Borel sobre qualsevol espai topològic: es tracta de la σ-àlgebra generada pels conjunts oberts (o, de manera equivalent, pels conjunts tancats). Cal remarcar que aquesta àlgebra no és, en general, el conjunt de les parts. Vegeu el conjunt de Vitali per a un exemple no-trivial.

Vegeu també

• Espai de probabilitat
• Teoria de la mesura
• Espai de mesura
• Conjunt de les parts
• Espai mostral