Sistema algebraic computacional

Un sistema algebraic computacional o sistema d'àlgebra computacional SAC (CAS, de l'anglès computer algebra system) és un programa d'ordinador o calculadora avançada que facilita el càlcul simbòlic. La principal diferència entre un CAS i una calculadora tradicional és l'habilitat del primer per a treballar amb equacions i fórmules simbòlicament, en lloc de numèricament. És a dir, una expressió com a + b és interpretada sempre com "la suma de dos variables", i no com "la suma de dos nombres" (amb valors assignats).

Un CAS ens permet automatitzar manipulacions difícils, com per exemple, desenvolupar per el binomi de Newton l'expressió $(x-10)^{500}$.

Manipulació d'expressions

Normalment s'inclouen els següents tipus de manipulacions:

• Amb expressions simbòliques:
  • Simplificació d'una expressió a la forma més simple o a una forma estàndard.
  • Canvi en la forma de les expressions: expansió de productes i potencies, factorització, reescriptura d'un quocient de polinomis com a suma de fraccions parcials, reescriptura de funcions trigonomètriques com a exponencials (i viceversa), etc.
  • Operacions amb matrius incloent productes de matrius, inversa d'una matriu, etc.
  • Resolució d'algunes equacions.
  • Càlcul d'alguns límits de funcions.
  • Càlcul de derivades i derivades parcials.
  • Càlcul d'algunes integrals indefinides, definides i d'algunes transformades integrals.
  • Aproximació de funcions per desenvolupament en sèries de potències.
  • Resolució d'algunes equacions diferencials.

• Amb expressions numèriques:
  • Manipulació exacta de fraccions i radicals.
  • Realització d'operacions amb precisió arbitrària.

• Respecte a la presentació de resultats:
  • Visualitzat de les expressions matemàtiques en una forma bidimensional, utilitzant amb freqüència sistemes de composició similars a TeX.

En els paràgrafs precedents, la paraula alguns indica que l'operació no sempre pot ser realitzada pel sistema. Un programa d'aquesta classe pot tindre limitacions a l'hora de resoldre certes expressions derivades, integrals, antiderivades, límits, quan aquestes tenen alguna ambigüitat o indefinició, o per les pròpies limitacions del sistema.

Algunes versions ofereixen a l'usuari la possibilitat de programar els seus propis algorismes matemàtics i solucionar, en part, tals limitacions. L'estudi d'algorismes aplicables als sistemes algebraics computats es denomina àlgebra computacional.

Història

Els sistemes d'àlgebra computacional van aparèixer a principis de la dècada dels 70, i van evolucionar a partir de la investigació en intel·ligència artificial, tot i que avui en dia constitueixen camps ben diferenciats. Els primers treballs foren dirigits pel Premi Nobel Martin Veltman, qui dissenyà el 1963 un programa par a matemàtica simbòlica, anomenat Schoonship, especialitzat en Física d'Altes Energies. Els primers sistemes populars forenn Reduce i Macsyma.

Avui en dia, una versió copyleft de Macsyma anomenada Maxima és mantinguda activament. Posteriorment, en els anys 1980 adquirí popularitat Derive.

Els actuals líders del mercat són Maple i Mathematica; ambdós són utilitzats freqüentment per enginyers, investigadors matemàtics i altres científics. MuPAD i MathCad són altres sistemes comercials. Alguns sistemes algebraics computacionals es concentren en una àrea específica d'aplicació, aquests últims solen ser sistemes lliures desenvolupats per universitats.

El 1987 Hewlett-Packard introduí per primera vegada un CAS en una calculadora amb la HP-28. Posteriorment, el 1995, Texas Instruments va treure al mercat la calculadora TI-92 i més tard la TI-voyage200, que incloïen un CAS avançat basat en el programari Derive.

Alguns sistemes d'àlgebra computacional

• Macaulay2, un programa lliure per Linux.
• Maple (de Maplesoft), per a Microsoft Windows i Linux.
• Mathematica (de Wolfram) per a Windows.
• Maxima, un programa lliure per a Windows i Linux.
• TI-Nspire (de Texas Instruments) per a Windows i dispositius portàtils (Calculadores).
• Yacas ("Yet Another Computer Algebra System"), un programari lliure per a Linux.
• WIRIS, sistema de càlcul simbòlic en línia.

Bibliografia

• Richard J. Fateman. "Essays in algebraic simplification". Technical report MIT-LCS-TR-095, 1972. (Of historical interest in showing the direction of research in computer algebra. At the MIT LCS web site: [1])

Enllaços externs (anglès)

• Definició de Computer Algebra System (anglès)
• http://www.cs.kun.nl/~freek/digimath/
• http://www.mat.univie.ac.at/~slc/divers/software.html

Pàgines d'Internet sobre CAS (anglès)

• Xcas
• Algebrator
• Axiom
• Behavioural Calculus