Sistema d'equacions lineals

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Cada equació d'un sistema d'equacions amb tres variables determina un pla. Resoldre el sistema és trobar els punt d'intersecció de tots els plans. En el sistema representat de la il·lustració determina tres plans (tres equacions) que es tallen en un punt, de manera que el sistema té una única solució (sistema compatible determinat).

En matemàtiques, un sistema d'equacions lineals és un conjunt d'equacions lineals que comparteixen el mateix conjunt de variables o incògnites. Per exemple:

\begin{alignat}{7}
3x &&\; + \;&& 2y &&\; - \;&& z &&\; = \;&& 1 & \\
2x &&\; - \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& -2 & \\
-x &&\; + \;&& \tfrac{1}{2} y &&\; - \;&& z &&\; = \;&& 0 &
\end{alignat}

és un sistema de tres equacions amb tres variables x, y i z. Una solució per a un sistema d'equacions lineals és l'assignació de valors a les variables de tal manera que els valors siguin vàlids per a totes les equacions alhora. Una solució per al sistema anterior seria:

\begin{alignat}{2}
x & = & 1 \\
y & = & -2 \\
z & = & -2
\end{alignat}

que és vàlida per a les tres equacions.[1]

Un sistema d'equacions pot tenir una única solució, diverses solucions, o cap. En funció de les possibles solucions hom parla de:

  • Sistema compatible: Si té solució.
    • Sistema determinat: Si només té una solució.
    • Sistema indeterminat: Si té un nombre infinit de solucions.
  • Sistema incompatible: Si no té cap de solució.

Exemple elemental[modifica | modifica el codi]

El tipus més senzill de sistema lineal consta de dues equacions i dues variables o incògnites:

\begin{alignat}{5}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 5 & \\
x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1&
\end{alignat}

Un mètode per a la solució d'aquest sistema és el següent. En primer lloc, a l'equació de dalt aïllarem la variable o incògnita x, expressant-la en termes de y:

 {x} = {5} - {y}

Ara substituirem a l'equació de sota la x per aquesta expressió:

\left( 5 - y \right) - y = 1

Això dóna com a resultat una equació a la que només hi ha la variable y. Si agrupem les y podem escriure l'expressió anterior com:

 5 - 1 = 2y
 \frac{4}{2}= y
 2 = y

Ara que ja sabem que  y = 2 , podem substituir aquest valor a l'equació  x = 5 - y i el resultat serà

 x = 5 - y
 x = 5 - 2
 x = 3

Aquest mètode, anomenat de substitució, es pot generalitzar per resoldre sistemes amb més de dues variables o incògnites.

Forma general[modifica | modifica el codi]

De manera general, un sistema de n equacions lineals amb m incògnites es pot escriure com segueix (tenint en compte que i i j representen índexs i no potències en expressions com x_{i}^{j}, x^{i} ):


\begin{cases}
\alpha_{1}^{1} x^{1} + \alpha_{2}^{1} x^{2} + \cdots + \alpha_{m}^{1} x^{m} = \beta^{1} \\ 
\alpha_{1}^{2} x^{1} + \alpha_{2}^{2} x^{2} + \cdots + \alpha_{m}^{2} x^{m} = \beta^{2} \\ 
\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \\
\alpha_{1}^{n} x^{1} + \alpha_{2}^{n} x^{2} + \cdots + \alpha_{m}^{n} x^{m} = \beta^{n} \\ 
\end{cases}
\qquad\qquad\qquad
(1)

On:

  • x^1, x^2, ..., \ldots, x^{m} són les incògnites,
  • \alpha_{1}^{1}, \alpha_{1}^{2}, ..., \alpha_{1}^{n} són els coeficients de les equacions del sistema, i
  •  \beta^{1}, \beta^{2}, ..., \beta^{n} són els termes constants.

Sovint, els coeficients i les incògnites són nombres reals o complexos, però també poden ser nombres enters i racionals, com són els polinomis i els elements d'una estructura algebraica abstracta.

Solucionar el sistema consisteix a trobar tots els valors de les variables (incògnites) x^1, x^2, \ldots, x^{m} que satisfan, alhora, les n equacions simultàniament.

Generalitats[modifica | modifica el codi]

La resolució de sistemes lineals d'equacions és un dels problemes més antics de les matemàtiques, els quals tenen una infinitat d'aplicacions, tant dintre de les mateixes matemàtiques com en altres ciències i tècniques, sigui el processament de senyals digitals, sigui l'estimació, la predicció i, més generalment, la programació lineal, així com en l'aproximació de problemes no lineals d'anàlisi numèrica. Uns algorismes eficients per a resoldre sistemes d'equacions lineals són l'eliminació de Gauss-Jordan i, millor, la factorització de Cholesky.[2] Per a sistemes d'igual nombre d'equacions que d'incògnites hi ha, també, la regla de Cramer que, malgrat la seva importància teòrica, no és gens eficient per a sistemes amb un nombre d'incògnites superior a dos.

Marcs conceptuals[modifica | modifica el codi]

Hi ha, en principi, dos marcs conceptuals en el si dels quals podem interpretar el significat d'un cert sistema lineal d'equacions, així com el dels mètodes de resolució. Són aquests:

Dependències lineals en un cert conjunt de vectors[modifica | modifica el codi]

Podem considerar cada columna de coeficients del sistema lineal (1) com a vectors d'un cert espai vectorial de dimensió n. Aleshores tenim els m + 1 vectors


a_{1} =
\begin{pmatrix}
\alpha_{1}^{1} \\
\alpha_{1}^{2} \\
\vdots \\
\alpha_{1}^{n} \\
\end{pmatrix}
\,,\quad
a_{2} =
\begin{pmatrix}
\alpha_{2}^{1} \\
\alpha_{2}^{2} \\
\vdots \\
\alpha_{2}^{n} \\
\end{pmatrix}
\,,\quad\ldots\,,
a_{m} =
\begin{pmatrix}
\alpha_{m}^{1} \\
\alpha_{m}^{2} \\
\vdots \\
\alpha_{m}^{n} \\
\end{pmatrix}
\,,\quad
b =
\begin{pmatrix}
\beta^{1} \\
\beta^{2} \\
\vdots \\
\beta^{n} \\
\end{pmatrix}

i el sistema (1) es pot escriure


x^{1} \,
\begin{pmatrix}
\alpha_{1}^{1} \\
\alpha_{1}^{2} \\
\vdots \\
\alpha_{1}^{n} \\
\end{pmatrix}
+
x^{2} \,
\begin{pmatrix}
\alpha_{2}^{1} \\
\alpha_{2}^{2} \\
\vdots \\
\alpha_{2}^{n} \\
\end{pmatrix}
+ \cdots +
x^{m} \,
\begin{pmatrix}
\alpha_{m}^{1} \\
\alpha_{m}^{2} \\
\vdots \\
\alpha_{m}^{n} \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\beta^{1} \\
\beta^{2} \\
\vdots \\
\beta^{n} \\
\end{pmatrix}

és a dir,


x^{1} a_{1} + x^{2} a_{2} + \cdots + x^{m} a_{m} = b

i, en aquest marc, solucionar el sistema lineal d'equacions consisteix a esbrinar totes les maneres possibles en les quals el vector b és combinació lineal dels vectors a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{m}. Si el vector b no n'és combinació lineal, el sistema no té solució i es diu que és incompatible. Si vector b sí ho és, el sistema té solucions i es diu compatible i si, a més, els vectors a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{m} són linealment independents, l'expressió de b com a combinació lineal de a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{m} és única i el sistema té solució única: és un sistema compatible determinat. En cas contrari, hi ha més d'una solució i el sistema es diu compatible indeterminat.

Antiimatge d'un vector en una certa aplicació lineal[modifica | modifica el codi]

El sistema (1) també equival a la igualtat matricial


\begin{pmatrix}
\alpha_{1}^{1} & \alpha_{2}^{1} & \ldots & \alpha_{m}^{1} \\ 
\alpha_{1}^{2} & \alpha_{2}^{2} & \ldots & \alpha_{m}^{2} \\ 
\vdots & \vdots & \vdots\,\vdots\,\vdots\ & \vdots \\
\alpha_{1}^{n} & \alpha_{2}^{n} & \ldots & \alpha_{m}^{n} \\ 
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x^{1} \\
x^{2} \\
\vdots \\
x^{m} \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\beta^{1} \\
\beta^{2} \\
\vdots \\
\beta^{n} \\
\end{pmatrix}

En aquest context, la matriu


A =
\begin{pmatrix}
\alpha_{1}^{1} & \alpha_{2}^{1} & \ldots & \alpha_{m}^{1} \\ 
\alpha_{1}^{2} & \alpha_{2}^{2} & \ldots & \alpha_{m}^{2} \\ 
\vdots & \vdots & \vdots\,\vdots\,\vdots & \vdots \\
\alpha_{1}^{n} & \alpha_{2}^{n} & \ldots & \alpha_{m}^{n} \\ 
\end{pmatrix}

correspon a la d'una certa aplicació lineal \varphi d'un espai vectorial E_{m} de dimensió m en un altre espai vectorial E_{n} de dimensió n:


\varphi: E_{m} \longleftrightarrow E_{n}

Aleshores, si


\mathcal{B}_{E_{m}} = \left\{e_{1}, e_{2}, \ldots e_{m}\right\}
\,,\quad
\mathcal{B}_{E_{n}} = \left\{u_{1}, u_{2}, \ldots u_{n}\right\}

són sengles bases dels espais E_{m} i E_{n}, les columnes de la matriu corresponen a les respectives imatges per \varphi dels vectors de la base \mathcal{B}_{E_{m}} de E_{m} expressats en la base \mathcal{B}_{E_{n}} de E_{n}:


\begin{align}
\varphi \left(e_{1}\right) &= \alpha_{1}^{1} u_{1} + \alpha_{1}^{2} u_{2} + \cdots + \alpha_{1}^{n} u_{n} \\
\varphi \left(e_{2}\right) &= \alpha_{2}^{1} u_{1} + \alpha_{2}^{2} u_{2} + \cdots + \alpha_{2}^{n} u_{n} \\
\vdots & \vdots \\
\varphi \left(e_{m}\right) &= \alpha_{m}^{1} u_{1} + \alpha_{m}^{2} u_{2} + \cdots + \alpha_{m}^{n} u_{n} \\
\end{align}
\qquad\qquad\qquad
(2)

la columna d'incògnites correspon a un cert vector x de E_{m} expressat en la base \mathcal{B}_{E_{m}}:


x = x^{1} e_{1} + x^{2} e_{2} + \cdots + x^{m} e_{m}

i la columna de termes independents correspon a un cert vector b de E_{n} expressat en la base \mathcal{B}_{E_{n}}:


b = \beta^{1} u_{1} + \beta^{2} u_{2} + \cdots + \beta^{n} u_{n}

i ara, en aquest altre marc, solucionar el sistema consisteix a trobar tots els vectors x \in E_{m} pels quals \varphi\left(x\right) = b \in E_{n}, és a dir, trobar tota la antiimatge del vector b \in E_{n}.

Si b \notin \varphi\left(E_{m}\right), és a dir, si b no és de la imatge de \varphi, el vector x \in E_{m} no existeix pas i, aleshores, el sistema no té solució: és incompatible. Si b \in \varphi\left(E_{m}\right), és a dir, si b pertany a la imatge de \varphi, hi ha vectors x \in E_{m} que fan \varphi(x) = b i el sistema té solució: és compatible. Si, a més, \varphi és una aplicació lineal injectiva, el vector x és únic, la solució del sistema és única i el sistema és determinat. Si \varphi no és injectiva, hi ha més d'una solució i el sistema es diu indeterminat.

Mètodes de resolució[modifica | modifica el codi]

Resolució pel mètode de reducció de Gauss[modifica | modifica el codi]

Els dos marcs conceptuals esmentats porten, tanmateix, al mateix problema. Trobar els vectors x que fan \varphi(x) = b consisteix en trobar els coeficients (les incògnites!) x^{i} a


\begin{align}
\varphi(x) &= \varphi\left(x^{1} e_{1} + x^{2} e_{2} + \cdots + x^{m} e_{m}\right) = \\
& = x^{1} \varphi\left(e_{1}\right) + x^{2} \varphi\left(e_{2}\right) + \cdots + x^{m} \varphi\left(e_{m}\right) = b
\end{align}

i tornem a estar davant del problema d'esbrinar totes les maneres possibles, si n'hi ha, en les quals el vector b és combinació lineal dels vectors \varphi\left(e_{1}\right), \varphi\left(e_{2}\right), \ldots, \varphi\left(e_{m}\right), és a dir, totes les maneres possibles en les quals el vector


b =
\begin{pmatrix}
\beta^{1} \\
\beta^{2} \\
\vdots \\
\beta^{n} \\
\end{pmatrix}

és combinació lineal dels vectors


\varphi\left(e_{1}\right) =
\begin{pmatrix}
\alpha_{1}^{1} \\
\alpha_{1}^{2} \\
\vdots \\
\alpha_{1}^{n} \\
\end{pmatrix}
\,,\quad
\varphi\left(e_{2}\right) =
\begin{pmatrix}
\alpha_{2}^{1} \\
\alpha_{2}^{2} \\
\vdots \\
\alpha_{2}^{n} \\
\end{pmatrix}
\,,\quad\ldots\,,
\varphi\left(e_{m}\right) =
\begin{pmatrix}
\alpha_{m}^{1} \\
\alpha_{m}^{2} \\
\vdots \\
\alpha_{m}^{n} \\
\end{pmatrix}

i, si posem \varphi\left(e_{1}\right) = a_{1}, \varphi\left(e_{2}\right) = a_{2}, \ldots, \varphi\left(e_{m}\right) = a_{m}, es tracta del mateix problema, exactament, plantejat al primer dels marcs conceptuals exposats.

Aquest problema té la seva resposta en el mètode de reducció de Gauss. Es tracta de considerar les dues matrius,


A =
\begin{pmatrix}
\alpha_{1}^{1} & \alpha_{2}^{1} & \ldots & \alpha_{m}^{1} \\ 
\alpha_{1}^{2} & \alpha_{2}^{2} & \ldots & \alpha_{m}^{2} \\ 
\vdots & \vdots & \vdots\,\vdots\,\vdots & \vdots \\
\alpha_{1}^{n} & \alpha_{2}^{n} & \ldots & \alpha_{m}^{n} \\ 
\end{pmatrix}
\,,\qquad
(A|b) =
\begin{pmatrix}
\alpha_{1}^{1} & \alpha_{2}^{1} & \ldots & \alpha_{m}^{1} & \beta^{1} \\ 
\alpha_{1}^{2} & \alpha_{2}^{2} & \ldots & \alpha_{m}^{2} & \beta^{2} \\ 
\vdots & \vdots & \vdots\,\vdots\,\vdots & \vdots & \vdots \\
\alpha_{1}^{n} & \alpha_{2}^{n} & \ldots & \alpha_{m}^{n} & \beta^{n} \\ 
\end{pmatrix}

respectivament, la matriu del sistema i la matriu ampliada del sistema, fer-ne la reducció, comparar els rangs de la matriu del sistema i el de la matriu ampliada, i expressar convenientment les relacions de dependència lineal que es posaran de manifest.

Quant a compatibilitat i determinació[modifica | modifica el codi]

Si \mbox{rang} \, A < \mbox{rang} \, (A|b), aleshores això indica que el vector b és independent dels vectors de la matriu A, en conseqüència, no pot ser-ne una combinació lineal i el sistema no té solució: es diu que és incompatible. En canvi, \mbox{rang} \, A = \mbox{rang} \, (A|b) implica que b no és independent dels vectors de A i, per tant, que sí que n'és una combinació lineal i el sistema sí que te solució: és compatible. Si, a més, \mbox{rang} \, A = \mbox{rang} \, (A|b) = m, els vectors de A són linealment independents i l'expressió de b és única: el sistema té solució única i és compatible i determinat. En canvi, si \mbox{rang} \, A = \mbox{rang} \, (A|b) < m, els vectors de A no són independents i la solució no és única: el sistema és compatible i indeterminat.

Obtenció de les solucions[modifica | modifica el codi]

Il·lustrarem ara com s'obté la solució general d'un sistema a partir de la reducció de la matriu ampliada mitjançant un exemple. Considerem el sistema


\begin{cases}
\begin{align}
5x - y + 11z + 6t &= 3 \\
3x + 4y + 2z + 2t &= 8 \\
2x + y + 3z - t &= 6 \\
x + 3y - z - 2t &= 7
\end{align}
\end{cases}

de matriu ampliada


\begin{pmatrix}
5 & -1 & 11 & 6 & 3 \\
3 & 4 & 2 & 2 & 8 \\
2 & 1 & 3 & -1 & 6 \\
1 & 3 & -1 & -2 & 7 \\
\end{pmatrix}

equivalent a


x a_{1} + y a_{2} + z a_{3} + t a_{4} = b

amb


a_{1} =
\begin{pmatrix}
5 \\
3 \\
2 \\
1
\end{pmatrix}
\,,\quad
a_{2} =
\begin{pmatrix}
-1 \\
4 \\
1 \\
3
\end{pmatrix}
\,,\quad
a_{3} =
\begin{pmatrix}
11 \\
2 \\
3 \\
-1
\end{pmatrix}
\,,\quad
a_{4} =
\begin{pmatrix}
6 \\
2 \\
-1 \\
-2
\end{pmatrix}
\,,\quad
b =
\begin{pmatrix}
3 \\
8 \\
6 \\
7
\end{pmatrix}

Una vegada feta la reducció de Gauss, obtenim la matriu


\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 & 0 & 2 \\
0 & 1 & -1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}

El rang de la matriu del sistema és 3 i el de la matriu ampliada també és 3. Per tant el sistema és compatible. Però com que aquest rang, 3, és més petit que el nombre d'incògnites, que és 4, el sistema és indeterminat.

La relació ara òbvia:


2 a_{1} + a_{2} - a_{4} = b

com que el problema consistia, precisament en trobar els coeficients dels vectors a_{i} en una combinació lineal que dona el vector b, ens proporciona una solució particular del sistema:


\begin{cases}
\begin{align}
x &= 2 \\
y &= 1 \\
z &= 0 \\
t &= -1 \\
\end{align}
\end{cases}

i, a partir de la relació, també òbvia,


a_{3} = 2 a_{1} - a_{2}

podem escriure, per a \lambda arbitrari,


2 a_{1} + a_{2} + \lambda\left(2 a_{1} - a_{2} - a_{3}\right) - a_{4} = b

és a dir,


(2 + 2 \lambda) a_{1} + (1 - \lambda) a_{2} - \lambda a_{3} - a_{4} = b

que, per les mateixes raons, dóna la solució general del sistema:


\begin{cases}
\begin{align}
x &= 2 + 2 \lambda \\
y &= 1 - \lambda \\
z &= -\lambda \\
t &= -1 \\
\end{align}
\end{cases}

que se sol escriure


\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z \\
t \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
2 \\
1 \\
0 \\
-1 \\
\end{pmatrix}
+ \lambda
\begin{pmatrix}
2 \\
-1 \\
-1 \\
0 \\
\end{pmatrix}

Observem com els valors <2, 1 i -1 de la solució particular ja apareixen com a components del vector b a la matriu reduïda, i com els valors 2 i -1 del vector afegit per a la solució general ja apareixen com a components del vector a_3 també a la matriu reduïda.

Si un altre sistema de quatre equacions en les cinc incògnites x, y, z, t, u té, després de la reducció, com a matriu ampliada, la següent,


\begin{pmatrix}
1 & 3 & 0 & 0 & 2 & 7 \\
0 & 0 & 1 & 0 & -5 & 8 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 4 & -6 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}

les relacions


b = 7 a_{1} + 8 a_{3} - 6 a_{4}
\,,\quad
a_{2} = 3 a_{1}
\,,\quad
a_{5} = 2 a_{1} - 5 a_{3} + 4 a_{4}

donen, amb \lambda i \mu arbitraris,


b = 7 a_{1} + 8 a_{3} - 6 a_{4} + \lambda \left(3 a_{1} - a_{2}\right) + \mu \left(2 a_{1} - 5 a_{3} + 4 a_{4} - a_{5}\right)

és a dir,


(7 + 3 \lambda + 2 \mu) a_{1} - \lambda a_{2} + (8 - 5 \mu) a_{3} + (-6 + 4 \mu) a_{4} - \mu a_{5}

i la solució general és


\begin{cases}
\begin{align}
x &= 7 + 3 \lambda + 2 \mu \\
y &= -\lambda \\
z &= 8 - 5 \mu \\
t &= -6 + 4 \mu \\
u &= -\mu\\
\end{align}
\end{cases}
\,,\qquad\mbox{o}\qquad
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z \\
t \\
u \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
7 \\
0 \\
8 \\
-6 \\
0 \\
\end{pmatrix}
+ \lambda
\begin{pmatrix}
3 \\
-1 \\
0 \\
0 \\
0 \\
\end{pmatrix}
+ \mu
\begin{pmatrix}
2 \\
0 \\
-5 \\
4 \\
-1 \\
\end{pmatrix}

Resolució per la regla de Cramer[modifica | modifica el codi]

Article principal: Regla de Cramer

La regla de Cramer és un mètode de resolució per als sistemes d'equacions lineals que es basa en la utilització de determinants. Per exemple, la solució d'aquest sistema:

\begin{alignat}{7}
 x &&\; + \;&& 3y &&\; - \;&& 2z &&\; = \;&& 5 & \\
3x &&\; + \;&& 5y &&\; + \;&& 6z &&\; = \;&& 7 & \\
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 8 &
\end{alignat}

vindrà donada per:


x=\frac
{\,\left| \begin{matrix}{\color{red}5}&3&-2\\{\color{red}7}&5&6\\{\color{red}8}&4&3\end{matrix} \right|\,}
{\,\left| \begin{matrix}1&3&-2\\3&5&6\\2&4&3\end{matrix} \right|\,}
,\;\;\;\;y=\frac
{\,\left| \begin{matrix}1&{\color{red}5}&-2\\3&{\color{red}7}&6\\2&{\color{red}8}&3\end{matrix} \right|\,}
{\,\left| \begin{matrix}1&3&-2\\3&5&6\\2&4&3\end{matrix} \right|\,}
,\;\;\;\;z=\frac
{\,\left| \begin{matrix}1&3&{\color{red}5}\\3&5&{\color{red}7}\\2&4&{\color{red}8}\end{matrix} \right|\,}
{\,\left| \begin{matrix}1&3&-2\\3&5&6\\2&4&3\end{matrix} \right|\,}.

Per a cada incògnita, el denominador és el determinant de la matriu de coeficients, mentre que el numerador és el determinant d'una matriu a la que una columna ha estat substituïda pel vector de termes constants (en vermell a les expressions anteriors). Tot i que la regla de Cramer és una aportació teòrica important i és útil per a sistemes petits, és poc pràctica per a matrius grans, ja que el càlcul de grans determinants és una mica incòmode.

Algorismes alternatius[modifica | modifica el codi]

S'han desenvolupat algorismes alternatius molt més eficients que el mètode de reducció de Gauss per a una gran quantitat de casos específics. La majoria d'aquests algorismes millorats tenen una complexitat computacional de O(n²). Alguns dels mètodes més utilitzats són els següents:

Sistemes homogenis[modifica | modifica el codi]

Si els termes independents del sistema són tots zero,


\begin{cases}
\begin{align}
\alpha_{1}^{1} x^{1} + \alpha_{2}^{1} x^{2} + \cdots + \alpha_{m}^{1} x^{m} &= 0 \\ 
\alpha_{1}^{2} x^{1} + \alpha_{2}^{2} x^{2} + \cdots + \alpha_{m}^{2} x^{m} &= 0 \\ 
\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots & \ldots \\
\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots & \ldots \\
\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots & \ldots \\
\alpha_{1}^{n} x^{1} + \alpha_{2}^{n} x^{2} + \cdots + \alpha_{m}^{n} x^{m} &= 0 \\ 
\end{align}
\end{cases}

el sistema es diu homogeni. Naturalment, en aquest cas, el rang de la matriu del sistema i el rang de la matriu ampliada coïncideixen i, així, un sistema homogeni és sempre compatible i té, com a mínim, la solució trivial


x^{1} = x^{2} = \cdots = x^{m} = 0

Solucionar un sistema homogeni, en el context de les aplicacions lineals, consisteix a trobar els vectors x pels quals \varphi{x} = 0, és a dir, trobar el nucli de l'aplicació lineal \varphi. Si el rang de la matriu del sistema és m, el nombre d'incògnites, aleshores els vectors que la componen són linealment independents i són una base de la imatge de \varphi. Aleshores, l'aplicació \varphi és injectiva, \ker \varphi = \left\{0\right\} i la solució és única: el sistema és determinat i l'única solució és la solució trivial. Si el rang és més petit, el sistema és indeterminat, perquè el nucli de \varphi no és trivial.

La relació entre els rangs de la matriu i de la matriu ampliada i la compatibilitat i indeterminació del sistema, així com el nombre de graus de llibertat de les solucions que hem anat trobant, se sistematitzen en l'enunciat del teorema de Rouché-Frobenius.

Notes i referències[modifica | modifica el codi]

  1. Tal com s'explica a l'article, l'àlgebra lineal és una disciplina matemàtica molt ben estudiada que compta amb una gran quantitat de fonts. Es pot trobar gairebé tot el material presentat en aquest article a les obres de Lay 2005, Meyer 2001 i Strang 2005.
  2. Press, William H.; Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling i Brian P. Flannery. Numerical Recipes a C: The Art of Scientific Computing (second edition) (en anglès). Cambridge University Press, 1992, p. 994. ISBN 0-521-43108-5. 

Bibliografia[modifica | modifica el codi]

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]