Sistema de coordenades cilíndriques

Un punt traçat en coordenades cilíndriques

El sistema de coordenades cilíndriques és un sistema de coordenades tridimensional que essencialment estén el sistema de coordenades polars afegint-li una tercera coordenada (normalment notada $z$) que mesura l'alçada del punt per damunt del pla del sistema de coordenades polars inicial.

Notació

La notació per aquest sistema de coordenades no és uniforme. L'estàndard ISO 31-11 l'estableix com $(\rho,\varphi,z)$. Però, en molts cassos l'azimut $\varphi$ es denota com $\theta$. La coordenada radial de vegades s'anomena $r$ mentre que a coordenada vertical de vegades és referida com $h$.

Definició

Les superfícies coordenades del sistema de coordenades cilíndriques (ρ, φ, z). El cilindre vermell mostra els punts amb ρ=2, el pla blau mostra els punts amb z=1, i el semiplà groc mostra els punts amb φ=-60°. L'eix z és vertical i l'eix x es ressalta en vermell. Les tres superfícies s'intersequen al punt P que és al que li corresponen aquestes coordenades (es presenta com una esfera negra); les coordenades cartesianes de P són aproximadament (1.0, -1.732, 1.0).

En el sistema de coordenades cilíndriques, a cada punt P de l'espai se li assignen les coordenades $(\rho, \varphi, z)$ de forma que:

• $\rho$ és la distància de l'origen O a P', la projecció ortogonal del punt P al pla XY. O el que és el mateix: la distància de P a l'eix z.
• $\varphi$ és l'angle entre el semieix positiu x i la recta OP', mesurat en sentit contrari a les agulles del rellotge.
• $z$ el mateix que en el sistema de coordenades cartesià és a dir, la distancia del punt P al pla xy.

Conversions entre sistemes de coordenades

Com que el sistema de coordenades cilíndriques només és un dels molts sistemes de coordenades en tres dimensions, hi ha equacions que a partir de les coordenades d'un punt en un sistema cilíndric permeten calcular les coordenades del mateix un en cada un dels altres i viceversa.

D'aquest càlcul, o d'aplicar aquestes equacions (compondre les funcions) a les equacions que defineixen diferents entitats geomètriques, se'n diu canvi de coordenades o transformació de coordenades.

Sistema de coordenades cartesianes

• La funció de canvi de variables $f$ per passar de coordenades cartesianes a coordenades cilíndriques és $f(\rho,\varphi,z)=(\sqrt{x^{2}+y^{2}},\operatorname{atan2}(y,x),z)\,$.
• La funció de canvi de variables $f$ per passar de coordenades cilíndriques a coordenades cartesianes és $f(x,y,z)=(\rho\cos\varphi,\rho\sin\varphi,z)\,$.

Fixeu-vos que es fa servir la funció atan2() que no és estàndard: Això fa que s'obtingui un valor entre 0 i 2π en comptes de entre -π i π com faria la funció arctangent habitual.

Sistema de coordenades esfèriques

Les coordenades esfèriques per a determinar unívocament cada punt de l'espai de tres dimensions li assignen: la distància radial entre el punt i un origen fixat (r), l'angle zenital que es mesura des del semieix positiu z fins a la recta que passa per l'origen i el punt (θ), i l'angle azimutal que es mesura entre el semieix positiu x i la projecció ortogonal al pla x-y d'aquesta mateixa recta (φ). Les coordenades cilíndriques es poden transformar en esfèriques aplicant:

$r=\sqrt{\rho^2+z^2}$

${\theta}=\arctan\frac{\rho}{z}$

${\varphi}=\varphi \quad$

Les coordenades esfèriques es poden transformar en cilíndriques aplicant:

$\rho = r \sin \theta \,$

$\varphi = \varphi \,$

$z = r \cos \theta \,$

Aplicacions

Les coordenades cilíndriques són útils al analitzar fenòmens que són simètrics respecte d'un eix, si es tria l'eix z de forma que coincideixi amb l'eix de simetria del fenomen. Per exemple per estudiar el camp magnètic creat pel corrent que circula per un conductor cilíndric recte molt llarg. El sistema de coordenades cilíndric permet obtenir expressions matemàtiques més senzilles en aquests cassos perquè l'equació d'un cilindre que en coordenades cartesianes és $\ x^2+y^2=c^2$ en coordenades cilíndriques adopta una forma tan senzilla com $\ \rho = c$. D'aquí ve el nom de coordenades "cilíndriques".

Càlcul integral

Vegeu Integral múltiple per trobar més detalls sobre la inintegal de volum en coordenades cilíndriques.

En molts problemes on intervenen coordenades cilíndriques, és útil conèixer l'expressió dels elements d'arc, superfície i de volum per tal de poder efectuar càlculs d'integrals que donin logituds de corbes àrees de superfícies i volums.

L'element d'arc és

$\mathrm d\mathbf{r} = \mathrm d\rho\,\boldsymbol{\hat \rho} + \rho\,\mathrm d\varphi\,\boldsymbol{\hat\varphi} + \mathrm dz\,\mathbf{\hat z}.$

L'element de superfície és

$\mathrm dS= \rho\,d\varphi\,dz.$

L'element de volum és

$\mathrm dV = \rho\,\mathrm d\rho\,\mathrm d\varphi\,\mathrm dz.$

Càlcul diferencial

Els operadors diferencials gradient, divergència, rotacional i laplaciana tenen expressions particulars en coordenades cilíndriques:

• Gradient

$\nabla\phi = \frac{\partial \phi}{\partial \rho}\hat{\rho} +\frac{1}{\rho}\frac{\partial \phi}{\partial \varphi}\hat{\varphi}+ \frac{\partial \phi}{\partial z}\hat{z}$

• Divergència

$\nabla\cdot\vec F = \frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho F_\rho)}{\partial \rho} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial(F_\varphi)}{\partial \varphi} + \frac{\partial(F_z)}{\partial z}$

• Rotacional

$\nabla\times \vec F=\frac{1}{\rho}\left| \begin{matrix} \hat{\rho} & \rho\,\hat{\varphi} & \hat{z} \\ & & \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \varphi} & \frac{\partial}{\partial z} \\ & & \\ F_\rho & \rho\,F_\varphi & F_z \end{matrix}\right|$

• Laplaciana

$\nabla^2\phi = \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}\left(\rho\frac{\partial\phi}{\partial\rho}\right) + \frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2\phi}{\partial \varphi^2} + \frac{\partial^2\phi}{\partial z^2}$

Vegeu També

• Sistema de coordenades
• Coordenades cartesianes
• Coordenades polars
• Coordenades esfèriques
• Llista de transformacions canòniques de coordenades

Bibliografia

• Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill, 1961, pp. 174–175. LCCN 59-0-14456, ASIN B0000CKZX7. 

• Sauer R, Szabó I. Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag, 1967, p. 95. LCCN 67-0-25285. 

• Zwillinger D. Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett, 1992, p. 113. ISBN 0-86720-293-9. 

• Moon P, Spencer DE. «Circular-Cylinder Coordinates (r, ψ, z)». A: Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions. corrected 2nd ed., 3rd print ed.. New York: Springer-Verlag, 1988, pp. 12–17 (Table 1.02). ISBN 978-0387184302.