Sistema de numeració

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

Un sistema de numeració és un conjunt de símbols i regles de generació que permeten construir tots els nombres vàlids en el sistema. Un sistema de numeració ve definit doncs per:

  • el conjunt S dels símbols permesos en el sistema. En el cas del sistema decimal són {0,1...9}; en el binari són {0,1}; en l'octal són {0,1,...7}; en l'hexadecimal són {0,1,...9,A,B,C,D,E,F}
  • el conjunt R de les regles de generació que ens indiquen quins nombres són vàlids i quins no són vàlids en el sistema.

Aquestes regles són diferents per a cada sistema de numeració considerat, però una regla comuna a tots és que per a construir nombres vàlids en un sistema de numeració determinat només es poden utilitzar els símbols permesos en eixe sistema (per a indicar el sistema de numeració utilitzat s'afig com a subíndex al nombre).

Exemples:

  • el nombre 125_{(10} és un nombre vàlid en el sistema decimal, però el nombre 12A_{(10} no ho és, ja que utilitza un símbol (A) no vàlid en el sistema.
  • el nombre 35_{(8} és un nombre vàlid en el sistema octal, però el nombre 39_{(8} no ho és, ja que el 9 no és un símbol vàlid en eixe sistema.

Aquesta representació possibilita la realització de senzills algorismes per a l'execució d'operacions aritmètiques.

Sistemes de numeració posicionals[modifica | modifica el codi]

Els sistemes de numeració usats en l'actualitat són posicionals. En estos sistemes de numeració el valor d'un dígit depèn tant del símbol utilitzat, com de la posició que eixe símbol ocupa en el nombre. En aquest sistema exerceix un paper fonamental el 0 inventat pels indis i maies.

Un sistema de numeració de base n significa que tenim n xifres per a escriure els nombres (des de 0 fins a n-1) i que n unitats formen una unitat d'orde superior. Així en el sistema decimal els dígits per a escriure van des del 0 fins al 9 i quan tenim 9 unitats i afegim 1 tindrem una unitat de segon ordre o desena i posarem les unitats a zero.

Però estem massa acostumats que després del 9 segueix el 10 i després l'11, que no entenem bé el seu significat profund. Açò és degut al fet que des de fa generacions (des que va ser desenvolupat i inculcat pels àrabs) hem vingut comptant en un sistema de base 10 o sistema decimal el qual és també conegut com a sistema aràbic.

Així mateix al 99 el segueix el 100 perquè si afegim una unitat a les nou que tenim formem una desena que unida a les nou que tenim formem una centena.

Tal és el costum de la comunitat civil el calcular en decimal que la gran majoria ni tan sols s'imagina que poden existir altres tipus de numeració que no són de base 10, com ara l'hexadecimal, l'octal, o el binari.

Prenguem ara el sistema binari o base 2 amb els dígits vàlids (0,1) i on dues unitats formen una unitat d'orde superior. Comptem com els xiquets en aquest sistema 0,1, ara a l'afegir 1 tenim una unitat d'orde superior i les unitats a 0 és a dir 0,1,10.

a l'1 el segueix el 10!

Continuem comptant 0,1,10,11, a l'afegir 1 unitat les unitats passen a dos i forma una unitat de segon ordre i com ja hi ha una tenim 2 amb el que es forma una unitat de tercer ordre o 100.

a l'11 el segueix el 100!

Així tenim 101_{(2}=5_{(10}

Exemples:

  • El nombre  333_{(10} està format per només un símbol repetit tres vegades. Tanmateix, cada un d'eixos símbols té un valor diferent, que depén de la posició que ocupa en el nombre. Així, el primer 3 (començant per l'esquerra) representa un valor de 300, el segon de 30 i el tercer de 3, donant com a resultat el valor del nombre: 333_{(10}=300+30+3=3 \cdot \mathbf {10^2}+3 \cdot \mathbf {10^1}+3 \cdot \mathbf {10^0}.
  • El nombre 101_{(2}=1 \cdot \mathbf {2^2}+0 \cdot \mathbf {2^1}+1 \cdot \mathbf {2^0}=5_{(10}


Tots els sistemes usats actualment usen una base n. En un sistema de numeració de base n existeixen n símbols. A l'escriure un nombre en base n, el dígit d en la posició i, de dreta a esquerra, té un valor

d \times n^{i-1}

En general, un nombre escrit en base n com

d_m d_{m-1}...d_2 d_1

té un valor

v=\Sigma_i^m d_i \times n^{i-1}

EL sistema decimal treballa amb deu dígits (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), el sistema de base huit treballa amb huit (0,1,2,3,4,5,6,7). El sistema binari, o de base dos, només utilitza dos (0 i 1).

Sistemes de numeració no posicionals[modifica | modifica el codi]

Els sistemes de numeració romans i egipcis no són estrictament posicionals. Per açò, és molt complex dissenyar algoritmes d'ús general (per exemple, per a sumar, restar, multiplicar o dividir).

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Sistema de numeració Modifica l'enllaç a Wikidata