Sistema dinàmic

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Una vegada conegudes la velocitat i la posició d'un cometa en un instant t, la resolució d'una equació diferencial permet determinar la seva trajectòria exacta.

La física és l'origen d'unes equacions funcionals particulars: els sistemes dinàmics. Un exemple històricament cèlebre, procedeix de la llei de la gravitació universal. Si es negligeix l'atracció deguda als altres planetes, l'acceleració de la Terra es dirigeix cap al Sol i la seva intensitat és inversament proporcional al quadrat de la distància que separa els dos astres. Aquesta llei física es tradueix en una equació que, una vegada conegudes la posició i la velocitat inicials de la Terra, dóna la seva trajectòria, és a dir la seva posició en funció del temps. Històricament, la capacitat per preveure la posició exacta dels cometes al segle XVIII va ser una confirmació de la teoria de Newton.[Nota 1]

Un sistema que evoluciona, perquè les posicions, estructures i interaccions entre les seves parts canvien, i del qual una equació permet conèixer exactament el seu estat en el transcurs del temps, a condició de conèixer el seu estat inicial, es qualifica de sistema dinàmic. Aquests sistemes es poden classificar en tres grans categories. La formulació més simple s'anomena discreta,[Nota 2] l'estat del sistema es descriu en diferents etapes, notades pels enters 0, 1, 2 ...,  k, ... i la solució és una successió (u k). Aquest tipus de sistema es fa servir per simular un comportament continu, discretitzant el temps amb l'ajuda d'intervals prou petits perquè la imprecisió generada per aquest mètode resti en límits acceptables. Conèixer la trajectòria exacta d'un cometa suposa tenir en compte l'atracció de tots els cossos del sistema solar. Resoldre l'equació en aquest cas es fa difícil, llavors es pot suposar que en un segon, la gravetat és gairebé constant, la trajectòria del cometa és gairebé parabòlica i la seva posició al cap d'un segon es calcula fàcilment, una vegada coneguda la posició dels diferents cossos massius com els planetes o el sol. Llavors, n'hi ha prou amb recalcular, a cada segon, la nova atracció per obtenir una successió que dona una aproximació de la trajectòria real. Si (p kv k) designa la parella posició i velocitat del cometa en el segon k, existeix en dues funcions f i g:

p_n = f(p_{n-1},v_{n-1}) \quad\text{i}\quad v_n = g(p_{n-1},v_{n-1})

S'obtenen successions definides per recurrència, característica d'un sistema dinàmic discret.[1]

També és possible seguir un altre camí. Una relació que lliga la posició del cometa amb la seva velocitat instantània (que en matemàtiques s'anomena derivada) i la seva acceleració (o derivada segona). Resoldre l'equació permet trobar la trajectòria del planeta.[Nota 3] L'equació pren una forma de la següent naturalesa, anomenada equació diferencial:

f\left(t,p(t),\frac {\mathrm dp}{\mathrm dt}(t), \frac {\mathrm d^2p}{\mathrm dt^2}(t)\right)= 0

Finalment, l'objectiu pot ser determinar l'estat d'un objecte que no es tradueix en un vector d'un espai de dimensió finita, sinó per una funció, com per exemple l'estat d'una corda vibrant. Es parla d'equació en derivades parcials.[2]

Notes[modifica | modifica el codi]

  1. Al començament, «El director de l'Observatori de París, Jean-Dominique Cassini, sembla ignorar les teories de Newton i de Halley. » 50 anys més tard, el seu fill Jacques s'uneix a la concepció newtoniana i heliocèntrica del sistema solar. Escriu : «... no hem cregut haver d'apartar-nos del sentiment el de manera més comuna rebut dels Astrònoms, que són Planetes que fan les seves revolucions al voltant del Sol, respecte al qual ells [els cometes] descriuen Orbes molt excèntrics. » F. Michel Les comètes observées en France au début du XVIIIe siècle
  2. No és més que la formulació el que és més simple, en el cas d'un sistema lògic, s'atribueix té Birkhoff l'afirmació següent: «El continu, és més simple que el discret»: D. Perrin La suite logistique et le chaos Université Paris Sud 11 Orsay p 8
  3. Si es desitja no negligir la influència dels planetes, l'equació diferencial es fa complexa: P. Iglesias Les origines du calcul symplectique chez Lagrange Revista de matemàtiques dels alumnes de l'Escola Normal Superior de Lió

Referències[modifica | modifica el codi]

  1. Aquesta descripció és àmpliament simplificada respecte als mètodes que realment es fan servir, fins i tot si l'ús de successions definides per recurrència és exacte: M. Fouchard Ch. Froeschlé S Breiter R. Ratajczak g. B. Valsecchi i H. Rickman Methods to study the dynamics of the Oort cloud comets II: modelling the galactic tide Lectura Notes in Physics 729 pàg. 271 293
  2. Per a l'estudi del comportament asimptòtic d'un sistema dinàmic regit per una equació en derivades parcials particulars, veure: Chao-Jiang Xu Régularité des solutions d'équations aux dérivées partielles non linéaires associées à un système de champs de vecteurs Annales de l'institut de Fourier, tom 37 n°2 (1987) pàgines 105-113