Successió de Fibonacci

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Un enrajolat amb quadrats els costats dels quals tenen una longitud de nombres de Fibonacci successius
Una espiral de Fibonacci, creada dibuixant arcs que connecten les cantonades oposades de quadrats de l'enrajolament de Fibonacci, mostrat al gràfic anterior. És la denominada espiral daurada.

La successió de Fibonacci és una successió matemàtica de nombres naturals tal que cada un dels seus termes és igual a la suma dels dos anteriors. Aquesta successió fou descrita per primera vegada per Leonardo de Pisa (àlies Fibonacci) i cadascun dels seus termes rep el nom de nombre de Fibonacci.

Si es pren una successió de nombres naturals de tal forma que els dos primers termes siguin

F(0) = 0
F(1) = 1

i cadascun dels següents termes és la suma dels dos anteriors:

F(n) = F(n-2) + F(n-1)

Aquesta successió és definida per recursivitat com:


 F(n)=
 \left\{
 \begin{matrix}
 0\,,\qquad\qquad\qquad\quad\,\ \ \,&&\mbox{si }n=0\,;\ \ \\
 1,\qquad\qquad\qquad\qquad\,&&\mbox{si }n=1;\ \ \,\\
 F(n-1)+F(n-2)&&\mbox{altrament.}
 \end{matrix}
 \right.


Els vint primers termes d'aquesta successió són:


n   1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
F(n)   1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765

Propietats[modifica | modifica el codi]

La successió de Fibonacci té moltes i molt variades propietats:

  • La raó (el quocient) entre un terme i l'immediatament anterior varia tota l'estona, però tendeix cap a un nombre irracional conegut com a "raó àuria" o nombre auri, que és la solució positiva de l'equació x2-x-1=0, i es pot aproximar per 1,618033989. I, en efecte, la raó entre el 20è i el 19è terme és 1,618033963, sent la diferència de només vint-i-sis milmilionèssimes.
  • A més, qualsevol nombre natural es pot escriure mitjançant la suma d'un nombre limitat de termes de la successió de Fibonacci, cadascun d'ells diferent dels altres. Per exemple, 17=13+3+1, 65=55+8+2.
  • D'altra banda, només un terme de cada tres és parell, un de cada quatre és múltiple de 3, un de cada cinc és múltiple de 5, etc. Això es pot generalitzar, de forma que la successió de Fibonacci és periòdica en les congruències mòdul m, per a qualsevol m.
  • Si F(p) és un nombre primer, p també és primer, amb una única excepció: F(4)=3, 3 és primer, però 4 no ho és.
  • La suma infinita dels termes de la successió F(n)/10n és exactament 10/89.

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Successió de Fibonacci
  • Fibonacci and the Golden Mean Vídeo on s'explica, de forma visual, la relació entre la successió de Fibonacci i el nombre d'or, a més d'altres propietats. (anglès)