Suma de matrius

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

La suma de matrius és una operació que es defineix per a dues matrius del mateix tipus, és a dir que totes dues tenen el mateix nombre de files i també el mateix nombre de columnes. La suma de dues matrius de tipus (m, n), A=(a_{ij}) i B=(b_{ij}), que s'escriu A + B, és una nova matriu (c_{ij}) de tipus (m, n) que s'obté sumant els elements corresponents de cada matriu, és a dir:

Per a tot i, j, c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}~

Per exemple:


 \begin{pmatrix}
 1 & 3 \\
 1 & 0 \\
 1 & 2
 \end{pmatrix}
+
 \begin{pmatrix}
 0 & 0 \\
 7 & 5 \\
 2 & 1
 \end{pmatrix}
=
 \begin{pmatrix}
 1+0 & 3+0 \\
 1+7 & 0+5 \\
 1+2 & 2+1
 \end{pmatrix}
=
 \begin{pmatrix}
 1 & 3 \\
 8 & 5 \\
 3 & 3
 \end{pmatrix}

El conjunt de les matrius de tipus (m, n) amb l'operació de la suma formen un grup abelià. La comprovació és evident a causa del fet que els elements són membres d'un grup abelià i la suma de matrius es defineix construint la matriu suma a partir de la suma dels elements.

Aquesta forma de definir la suma de matrius prové de les aplicacions lineals; si A i B són matrius d'aplicacions lineals respecte a una base donada, llavors la matriu de l'aplicació suma expressada en la mateixa base, és la suma de matrius A+B. Per exemple:


\begin{align}
 \left( \begin{matrix}
 1 & 2 \\
 3 & 1 \\
\end{matrix} \right)\cdot \left\{ \begin{matrix}
 e_{1} \\
 e_{2} \\
\end{matrix} \right\}+\left( \begin{matrix}
 2 & 0 \\
 0 & 2 \\
\end{matrix} \right)\cdot \left\{ \begin{matrix}
 e_{1} \\
 e_{2} \\
\end{matrix} \right\}& =\left\{ \begin{matrix}
 1\cdot e_{1}+2\cdot e_{2} \\
 3\cdot e_{1}+1\cdot e_{2} \\
\end{matrix} \right\}+\left\{ \begin{matrix}
 2\cdot e_{1}+0\cdot e_{2} \\
 0\cdot e_{1}+2\cdot e_{2} \\
\end{matrix} \right\} \\ 
 & =\left\{ \begin{matrix}
 \left( 1+2 \right)\cdot e_{1}+\left( 2+0 \right)\cdot e_{2} \\
 \left( 3+0 \right)\cdot e_{1}+\left( 1+2 \right)\cdot e_{2} \\
\end{matrix} \right\} \\ 
 & =\left( \begin{matrix}
 1+2 & 2+0 \\
 3+0 & 1+2 \\
\end{matrix} \right)\cdot \left\{ \begin{matrix}
 e_{1} \\
 e_{2} \\
\end{matrix} \right\} \\ 
 & =\left( \left( \begin{matrix}
 1 & 2 \\
 3 & 1 \\
\end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix}
 2 & 0 \\
 0 & 2 \\
\end{matrix} \right) \right)\cdot \left\{ \begin{matrix}
 e_{1} \\
 e_{2} \\
\end{matrix} \right\} 
\end{align}