Suma de matrius

De Viquipèdia

Dreceres ràpides: navegació, cerca

La 'suma de matrius és una operació que es defineix per a dues matrius del mateix tipus, es a dir que totes dues tenen el mateix nombre de files i també el mateix nombre de columnes. La suma de dues matrius de tipus (m, n), A = (aij) i B = (bij), que s'escriu A + B, és una nova matriu (cij) de tipus (m, n) que s'obté sumant els elements corresponents de cada matriu, es a dir:

Per a tot i, j, c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}~

Per exemple:

\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 7 & 5 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+0 & 3+0 \\ 1+7 & 0+5 \\ 1+2 & 2+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 8 & 5 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}

El conjunt de les matrius de tipus (m, n) amb l'operació de la suma formen un grup abelià. La comprovació és evident degut a que els elements són membres d'un grup abelià i la suma de matrius es defineix construint la matriu suma a partir de la suma dels elements.

Aquesta forma de definir la suma de matrius prové de les aplicacions lineals; si A i B són matrius d'aplicacions lineals respecte a una base donada, llavors la matriu de la aplicació suma expressada en la mateixa base, és la suma de matrius A+B. Per exemple:

\begin{align} \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 1 \\ \end{matrix} \right)\cdot \left\{ \begin{matrix} e_{1} \\ e_{2} \\ \end{matrix} \right\}+\left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \\ \end{matrix} \right)\cdot \left\{ \begin{matrix} e_{1} \\ e_{2} \\ \end{matrix} \right\}& =\left\{ \begin{matrix} 1\cdot e_{1}+2\cdot e_{2} \\ 3\cdot e_{1}+1\cdot e_{2} \\ \end{matrix} \right\}+\left\{ \begin{matrix} 2\cdot e_{1}+0\cdot e_{2} \\ 0\cdot e_{1}+2\cdot e_{2} \\ \end{matrix} \right\} \\ & =\left\{ \begin{matrix} \left( 1+2 \right)\cdot e_{1}+\left( 2+0 \right)\cdot e_{2} \\ \left( 3+0 \right)\cdot e_{1}+\left( 1+2 \right)\cdot e_{2} \\ \end{matrix} \right\} \\ & =\left( \begin{matrix} 1+2 & 2+0 \\ 3+0 & 1+2 \\ \end{matrix} \right)\cdot \left\{ \begin{matrix} e_{1} \\ e_{2} \\ \end{matrix} \right\} \\ & =\left( \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 1 \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \\ \end{matrix} \right) \right)\cdot \left\{ \begin{matrix} e_{1} \\ e_{2} \\ \end{matrix} \right\} \end{align}

Obtingut de «http://ca.wikipedia.org/wiki/Suma_de_matrius»