Sumatori d'Euler

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

El sumatori d'Euler és un mètode de sumabilitat per a sèries convergents i divergents. Donada una sèrie Σan, si la seva Transformació d'euler convergeix a una suma, llavors aquella suma s'anomena el sumatori d'Euler de la sèrie original.

El sumatori d'Euler es pot generalitzar a una família de mètodes denotats (E, q ), on q ≥ 0. La (E, 0) suma és el sumatori habitual (convergent), mentre (E, 1) és el sumatori d'Euler corrent. Tots aquests mètodes són estrictament més dèbils que el sumatori de Borel; per q > 0 són incomparables amb el sumatori d'Abel.

Definició[modifica | modifica el codi]

El sumatori d'Euler es fa servir especialment per accelerar la convergència de sèrie alternades i permet avaluar sumes divergents.

 _{E_y}\, \sum_{j=0}^\infty a_j := \sum_{i=0}^\infty \frac{1}{(1+y)^{i+1}} \sum_{j=0}^i {i \choose j} y^{j+1} a_j .

Per justificar l'enfocament observeu que per a la suma intercanviada, l'sumatori d'Euler es redueixi a la sèrie inicial, perquè

y^{j+1}\sum_{i=j}^\infty {i \choose j} \frac{1}{(1+y)^{i+1}}=1.

Aquest mètode mateix no pot ser millorat per l'aplicació iterateda, ja que

 _{E_{y_1}} {}_{E_{y_2}}\sum = \, _{E_{\frac{y_1 y_2}{1+y_1+y_2}}} \sum.

Exemples[modifica | modifica el codi]

  • eS TÉ \sum_{j=0}^\infty (-1)^j P_k(j) = \sum_{i=0}^k \frac{1}{2^{i+1}} \sum_{j=0}^i {i \choose j} (-1)^j P_k(j) , si P_k és un polinomi de grau k . Observeu que en aquest cas el sumatori d'Euler redueix una sèrie infinita a una suma finita.
  • L'elecció particular P_k(j):= (j+1)^k proporciona una representació explícita dels Nombres de Bernoulli, des de \zeta(-k)= -\frac{B_{k+1}}{k+1}. En efecte, aplicant el sumatori d'Euler als resultats de funció de zeta \frac{1}{1-2^{k+1}}\sum_{i=0}^k \frac{1}{2^{i+1}} \sum_{j=0}^i {i \choose j} (-1)^j (j+1)^k , que és polinòmica per a k un enter positiu; cfr. Funció zeta de Riemann.


  • \sum_{j=0}^\infty z^j= \sum_{i=0}^\infty \frac{1}{(1+y)^{i+1}} \sum_{j=0}^i {i \choose j} y^{j+1} z^j = \frac{y}{1+y} \sum_{i=0} \left( \frac{1+yz}{1+y} \right)^i. Amb una elecció apropiada de y aquesta sèrie convergeix a \frac{1}{1-z}.

Vegueu també[modifica | modifica el codi]

Referències[modifica | modifica el codi]

  • Korevaar, Jacob. Tauberian Theory: A Century of Developments. Springer, 2004. ISBN 3-540-21058-X. 
  • Shawyer, Bruce and Bruce Watson. Borel's Methods of Summability: Theory and Applications. Oxford UP, 1994. ISBN 0-19-853585-6.