Sumatori de Riemann

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, un sumatori de Riemann és un mètode per aproximar l'àrea entre el gràfic d'una corba i l'eix x; és a dir una aproximació de la integral. Prenent el límit quant el nombre de termes tendeix a infinit es pot fer servir per a definir l'operació de integració,

El sumatori de Riemann, rep aquest nom en honor al matemàtic alemany Bernhard Riemann.

Definició[modifica | modifica el codi]

Sia la funció f: DR, on D és un subconjunt del conjunt dels nombres reals R, i sia I = [a, b] un interval tancat contingut a D. Un conjunt finit de punts {x0, x1, x2, ... xn} tals que a = x0 < x1 < x2 ... < xn = b Crea una partició

P = {[x0, x1), [x1, x2), ... [xn-1, xn]}

de I.

si P és una partició amb n elements de I, llavors el 'sumatori de Riemann de f sobre I amb la partició P es defineix com

S = \sum_{i=1}^{n} f(y_i)(x_{i}-x_{i-1})

on xi-1yixi. La selecció de yi en aquest interval és arbitrària. Si yi = xi-1 per a tot i, llavors de S se’n diu un sumatori de Riemann esquerra. Si yi = xi, llavors de S se’n diu un sumatori de Riemann dret. Si yi = (xi+xi-1)/2, llavors de S se’n diu un sumatori de Riemann mig. Calculant la mitja dels sumatoris de Rieman dret i esquerre s'obté l'anomenat sumatori trapezoïdal.

Si es té

S = \sum_{i=1}^{n} v_i(x_{i}-x_{i-1})

on vi és el suprem de f sobre [xi-1, xi]; llavors S és per definició un sumatori de Riemann superior. De forma similar, si vi és l’ínfim de f sobre [xi−1, xi], llavors S é un sumatori de Riemann inferior.

Qualsevol sumatori de Riemann en una partició donada (és a dir, per a qualsevol elecció de yi between xi-1 i xi) està entre els sumatoris de Riemann inferior i superior. Una funció és Riemann integrable si els sumatoris de Riemann inferior i superior esdevenen cada cop més propers a mesura que la partició es fa més i més fina. Aquest fet també es pot fer servi en integració numèrica.

Mètodes[modifica | modifica el codi]

Tal com s'ha establer més amunt, hi ha quatre mètodes habituals per a calcular els sumatoris de Riemann: esquerra, dreta, mig i trapezoïdal. Tot seguit s'estudiaran pel cas senzill en el que les particions es construeixen amb intervals de la mateixa mida. Així, si es divideix l'interval [a, b] en n subintervals, cada un tindrà longitud Q = (b − a/ n. Els punts de la partició seran

a, a + Q, a + 2Q, ..., a + (n−2)Q, a + (n−1)Q, b.

Sumatori de Riemann esquerra[modifica | modifica el codi]

Un sumatori de Riemann esquerra de x3 sobre [0,2] emprant 4 subdivisions.

En el sumatori de Riemann esquerra la funció s'aproxima pel valor que té al punt extrem de l'esquerra del interval. Això dona múltiples rectangles amb base Q i alçada f(a + iQ). Fent això per i = 0, 1, ..., n−1, i sumant les àrees resultants s'obté

Q\left[f(a) + f(a + Q) + f(a + 2Q)+\cdots+f(b - Q)\right].\,

Els sumatori de Riemann esquerra serà una sobre estimació si f és monòtona decreixent a l'interval, i una subestimació si és monòtona creixent.

Sumatori de Rieman dret[modifica | modifica el codi]

Un sumatori de Riemann dret de x3 sobre [0,2] emprant 4 subdivisions.

Aquí, per a cada interval s'aproximarà f pel valor que té a l'extrem dret. Això dona múltiples rectangles amb base Q i alçada f(a + iQ). Fent-ho per i = 1, 2, ..., n−1, n, i sumant les àrees que en resulten s'obté

Q\left[f(a + Q) + f(a + 2Q)+\cdots+f(b)\right].\,

El sumatori de Riemann dret serà una sobreestimació di la funció f és monòtona creixent, i una subestimació si és monòtona decreixent.

Sumatori mig[modifica | modifica el codi]

Un sumatori de Riemann mig de x3 sobre [0,2] emprant 4 subdivisions.

En aquest cas s'agafa com aproximació de f a cada interval e seu valor al punt mig. Pel primer interval es té f(a + Q/2), pel següent f(a + 3Q/2), i així fins a arribar a f(b-Q/2). Sumant les àrees, es troba

Q\left[f(a + Q/2) + f(a + 3Q/2)+\cdots+f(b-Q/2)\right].

L'error d'aquesta fórmula serà

\left \vert \int_{a}^{b} f(x) - A_\mathrm{mid} \right \vert \le \frac{M_2(b-a)^3}{(24n^2)},

on M_2 és el valor màxim del valor absolut de f^{\prime\prime}(x) a l'interval.

Sumatori trapezoïdal[modifica | modifica el codi]

Un sumatori de Riemann trapezoïdal de x3 sobre [0,2] emprant 4 subdivisions.

En aquest cas, els valors de la funció f en un interval s'aproximaran per la mitja aritmètica dels valors que pren la funció als extrems esquerra i dret de l'interval. De forma similar a l'anterior, un simple càlcul emprant la fórmula de l'àrea A=h(b_1+b_2)/2 per un trapezi de cares paral·leles b1, b2 i alçada h es troba que el sumatori de Riemann és

\frac{1}{2}Q\left[f(a) + 2f(a+Q) + 2f(a+2Q) + 2f(a+3Q)+\cdots+f(b)\right].

L'error d'aquesta aproximació per la integral és

\left \vert \int_{a}^{b} f(x) - A_\mathrm{trap} \right \vert \le \frac{M_2(b-a)^3}{(12n^2)},

on M_2 és el valor màxim del valor absolut de f^{\prime\prime}(x).

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]