Suprem

Un conjunt A de nombres reals (representats per cercles blaus), un conjunt de cotes superiors de A (cercles vermells), i el mínim de les fites superiors , el suprem de A (diamant vermell).

En matemàtiques, donat un subconjunt S d'un conjunt parcialment ordenat (P, <), el suprem de S, si existeix, és l'element mínim de P que és major o igual a cada element de S. En altres paraules, és la mínima de les cotes superiors de S. El suprem d'un conjunt S comunament es denota sup(S).

Propietats

• Si el suprem existeix, llavors és únic.
• $\sup (A \cup B) = \max \{\sup (A), \sup (B) \}$, si és que aquests suprems existeixen.
• Un conjunt té màxim, si i només si conté al seu suprem.

Exemples

• En el camp dels nombres reals, tot subconjunt no buit, fitat superiorment té suprem.
• $\sup \{1, 2, 3 \}= 3 \,$
• $\sup \{x \in \mathbb{R}|0 <x <1 \}= \sup \{x \in \mathbb{R}|0 \leq x \leq 1 \}= 1 \,$
• $\sup \{x \in \mathbb{Q}|x^2 <2 \}= \sqrt{2}\,$
• $\sup \{(-1)^n - \frac{1}{n}|n \in \mathbb{N}\}= 1 \,$

Vegeu també

• Ínfim

Referències

• Rudin, Walter, Principles of Mathematical Analysis, Third Edition , McGraw-Hill, 1976.
• Supremum (en PlanetMath.org )
• Weisstein, Eric W., "Supremum function" a MathWorld (en anglès).