Tensor de Maxwell

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

El tensor de tensions de Maxwell o Tensor de Maxwell (en honor de James Clerk Maxwell) és un objecte matemàtic en la física, més concretament es tracta d'un tensor de segon rang utilitzat en electromagnetisme clàssic per representar la interacció entre les forces electromagnètiques i l'impuls mecànic. En situacions simples, com ara una càrrega puntual que es mou lliurement en un camp magnètic homogeni, és fàcil de calcular les forces de les càrregues segons la llei de la força de Lorentz. Quan la situació es torna més complexa, aquest procediment ordinari pot arribar a ser increïblement difícil, amb equacions que abasten diverses línies. Per tant, és convenient recollir molts d'aquests termes en el tensor de tensions de Maxwell i utilitzar l'aritmètica tensor per trobar la resposta al problema en qüestió.

Motivació[modifica | modifica el codi]

Com veurem a continuació, la força electromagnètica s'escriu en termes de B i E, usant el càlcul vectorial i les equacions de Maxwell en els termes que contenen E i B es busquen per simetria, i la introducció del tensor de tensions de Maxwell simplifica el resultat.

Equacions de Maxwell en unitats del SI en el buit
(per referència)
Nom Forma diferencial
Llei de Gauss (en el buit) \nabla \cdot \mathbf{E} = \frac {\rho} {\epsilon_0}
Llei de Gauss pel magnetisme \nabla \cdot \mathbf{B} = 0
Equació de Maxwell–Faraday
(llei de la inducció de Faraday)
\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}
Llei d'Ampère (en el buit)
(amb la correcció de Maxwell)
\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\
\mathbf{F} = q(\mathbf{E} + \mathbf{v}\times\mathbf{B})

la força per unitat de volum per una distribució de càrrega desconeguda és


\mathbf{f} = \rho\mathbf{E} + \mathbf{J}\times\mathbf{B}

\mathbf{f} = \epsilon_0 \left(\boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{E} \right)\mathbf{E} + \frac{1}{\mu_0} \left(\boldsymbol{\nabla}\times \mathbf{B} \right) \times \mathbf{B} - \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \times \mathbf{B}\,
\frac{\partial}{\partial t} (\mathbf{E}\times\mathbf{B}) = \frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}\times \mathbf{B} + \mathbf{E} \times \frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} = \frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}\times \mathbf{B} - \mathbf{E} \times (\boldsymbol{\nabla}\times \mathbf{E})\,

i podem tornar a escriure f com:

\mathbf{f} = \epsilon_0 \left(\boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{E} \right)\mathbf{E} + \frac{1}{\mu_0} \left(\boldsymbol{\nabla}\times \mathbf{B} \right) \times \mathbf{B} - \epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t}\left( \mathbf{E}\times \mathbf{B}\right) - \epsilon_0 \mathbf{E} \times (\boldsymbol{\nabla}\times \mathbf{E})\,,

aleshores, agrupant els termes per E i B tenim:

\mathbf{f} = \epsilon_0\left[ (\boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{E} )\mathbf{E} - \mathbf{E} \times (\boldsymbol{\nabla}\times \mathbf{E}) \right] + \frac{1}{\mu_0} \left[ - \mathbf{B}\times\left(\boldsymbol{\nabla}\times \mathbf{B} \right) \right]
- \epsilon_0\frac{\partial}{\partial t}\left( \mathbf{E}\times \mathbf{B}\right)\,.
\mathbf{f} = \epsilon_0\left[ (\boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{E} )\mathbf{E} - \mathbf{E} \times (\boldsymbol{\nabla}\times \mathbf{E}) \right] + \frac{1}{\mu_0} \left[(\boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{B} )\mathbf{B} - \mathbf{B}\times\left(\boldsymbol{\nabla}\times \mathbf{B} \right) \right]
- \epsilon_0\frac{\partial}{\partial t}\left( \mathbf{E}\times \mathbf{B}\right)\,.

Eliminant els rínxols (que són força complicats de calcular) usant la identitat del càlcul vectorial

\tfrac{1}{2} \boldsymbol{\nabla} (\mathbf{A}\cdot\mathbf{A}) = \mathbf{A} \times (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A}) + (\mathbf{A} \cdot \boldsymbol{\nabla}) \mathbf{A} ,

condueix a:

\mathbf{f} = \epsilon_0\left[ (\boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{E} )\mathbf{E} + (\mathbf{E}\cdot\boldsymbol{\nabla}) \mathbf{E} \right] + \frac{1}{\mu_0} \left[(\boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{B} )\mathbf{B} + (\mathbf{B}\cdot\boldsymbol{\nabla}) \mathbf{B} \right] - \frac{1}{2} \boldsymbol{\nabla}\left(\epsilon_0 E^2 + \frac{1}{\mu_0} B^2 \right)
- \epsilon_0\frac{\partial}{\partial t}\left( \mathbf{E}\times \mathbf{B}\right)\,.
  • Aquesta expressió conté tots els aspectes de l'electromagnetisme i la força, i és relativament fàcil de calcular. Es pot escriure de forma més compacta mitjançant la introducció del tensor de tensions de Maxwell,
\sigma_{i j} \equiv \epsilon_0 \left(E_i E_j - \frac{1}{2} \delta_{ij} E^2\right) + \frac{1}{\mu_0} \left(B_i B_j - \frac{1}{2} \delta_{ij} B^2\right)\,,

podem observar que tot excepte l'últim terme es pot escriure com la divergència de:

\mathbf{f} + \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial \mathbf{S}}{\partial t}\, = \nabla \cdot \mathbf{\sigma},

on per fi hem intoduït el vector de Poynting,

\mathbf{S} = \frac{1}{\mu_0}\mathbf{E}\times\mathbf{B}.

Equació[modifica | modifica el codi]

En física, el tensor de tensions de Maxwell és el tensor de tensions d'un camp electromagnètic. Com derivat anteriorment en unitats del SI, que està donada per:

\sigma_{i j} = \epsilon_0 E_i E_j + \frac{1}
{{\mu _0 }}B_i B_j - \frac{1}{2}\bigl( {\epsilon_0 E^2 + \tfrac{1}
{{\mu _0 }}B^2 } \bigr)\delta _{ij} ,

on ε0 és la constant elèctrica i μ0 és la constant magnètica. E, és el camp elèctric, B és el camp magnètic i δij és delta de Kronecker. En unitats gaussianes cgs d'ús més comú en els llibres de text de física, està donada per:

\sigma_{i j}=\frac{1}{4\pi}\left(E_{i}E_{j}+H_{i}H_{j}-
\frac{1}{2}(E^2+H^2)\delta_{ij}\right),

on H és el camp magnètic.

Una forma alternativa d'expressar aquest tensor és:


\overset{\leftrightarrow }{ \mathbf{\sigma} } = \frac{1}{4\pi} \left[ \mathbf{E}\otimes\mathbf{E} + \mathbf{H}\otimes\mathbf{H} - \frac{E^2+H^2 }{2} (\mathbf{\hat x}\otimes\mathbf{\hat x} + \mathbf{\hat y}\otimes\mathbf{\hat y} + \mathbf{\hat z}\otimes\mathbf{\hat z}) \right]
,

on ⊗ és el producte tensorial.

Magnetisme[modifica | modifica el codi]

Si el camp magnètic es troba sol (cert en gran mesura en els motors, per exemple), alguns dels termes de , i es converteix en l'equació en unitats SI:

\sigma_{i j} = \frac{1}{\mu_0} B_i B_j - \frac{1}{2 \mu_0} B^2 \delta_{i j} \,.

Per als objectes cilíndrics, com ara el rotor d'un motor, aquest se simplifica encara més a:

\sigma_{r t} = \frac{1}{\mu_0} B_r B_t - \frac{1}{2 \mu_0} B^2 \delta_{r t} \,.

on r és la component radial (cap a fora des del cilindre), i t és la component tangencial (al voltant del cilindre). És la força tangencial que fa girar el motor. Br és la densitat de flux en la direcció radial, i Bt és la densitat de flux en la direcció tangencial.

Referències[modifica | modifica el codi]

  • David J. Griffiths, "Introduction to Electrodynamics", pàgines 351-352, Benjamin Cummings Inc, 2008
  • John David Jackson, "Classical Electrodynamics, 3rd Ed.", John Wiley & Sons, Inc, 1999.
  • Richard Becker, "Electromagnetic Fields and Interactions", Dover Publications Inc, 1964.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]