Teorema fonamental de l'àlgebra

El teorema fonamental de l'àlgebra estableix que un polinomi en una variable, no constant i amb coeficients complexes, té tantes arrels com indica el seu grau, contant les arrels amb les seves multiplicitats. En altres paraules:

Tot polinomi de coeficients complexos i de grau n (n ≥ 1) té exactament n arrels.

És a dir, que per a tot polinomi del tipus:

$p(z)=z^n+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_0$

existeixen n nombres z₁, ..., z_n (no necessàriament tots diferents) tals que p(z₁) = 0, p(z₂) = 0, ..., p(z_n) = 0 i, per tant,

$p(z)=(z-z_1)(z-z_2)\cdots(z-z_n).$

Aquest resultat és fonamental perquè demostra que el cos dels nombres complexos és un cos algebraicament tancat, a diferència del cos dels nombres reals. Una conseqüència directa és el fet que el producte de totes les arrels és igual a (−1)ⁿa₀ i que la suma de totes les arrels és igual a −a_n−1.

Demostració

La demostració es basa en fer que la variable z escombri el conjunt dels nombres complexos i veure que necessàriament ha de passar pel valor zero. L'escombratge es fa considerant la representació vectorial dels nombres complexos.

Inicialment es pren un nombre amb mòdul zero i es va fent créixer el mòdul, per a cada valor del mòdul es fa que l'angle recorri els valors des de zero fins a 2π. Quan el mòdul de z és zero el resultat de la funció polinòmica és $a_0$. Quan el mòdul és molt petit els monomis d'ordre més gran que $a_1z$ es poden negligir en comparació amb $a_1z$ i la funció polinòmica al variar l'angle de z entre zero i 2π dóna una volta entorn al punt $a_0$. Si $a_0$ és diferent de zero el punt (0,0i) queda fora del cercle. (Si $a_0$ és zero el polinomi admet una arrel trivial x = 0). Quan el mòdul és molt gran els monomis diferents de $z^n$ es poden negligir respecte d'aquest, per tant al variar l'angle entre 0 i 2π radiants la funció polinòmica descriu pràcticament un cercle n cops entorn al punt (0,0i).

Per tant a l'escombrar d'aquesta forma el conjunt dels nombres complexos, la funció polinòmica passa de forma contínua de descriure un cercle on el punt (0,0i) en queda fora a descriure'n un on el punt (0,0i) en queda dins, per tant en algun punt ha de tocar (0,0i). Aquest punt (diguem-ne $z_0$) és per tant una arrel del polinomi. Dividint el polinomi per $(z - z_0)$ s'obté un altre polinomi de grau n - 1 i el residu és zero. Repetint el procés n - 1 cops més es poden trobar les altres n - 1 arrels.

Per tant, tot polinomi de grau n amb coeficients en el cos dels nombres complexos té n arrels.